Un polynôme de degré bien bas...

Soit $(x_1,\dots,x_n,a,b)$ une famille d’éléments de $\mathbb{C}$ . On définit la matrice de taille $n\times n$ suivante $T:=\begin{pmatrix} x_1 & b & \dots & b\\ a & x_2 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & b\\ a & \dots & a & x_n \end{pmatrix}$ et on note $\mathcal{T}$ son déterminant. On pose aussi $J=(1)_{i,j}$ la matrice de taille $n$ ne contenant que des $1$ et le polynôme $P(X):=\det(T+XJ)$ .

Déterminer le degré de $P$ .
Calculer $P$ puis $\mathcal{T}$ dans le cas $a\neq b$ .
Calculer $\mathcal{T}$ dans le cas $a=b$ indépendamment des questions précédentes.

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Solution by Sequoia

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En écrivant le déterminant, on note que retirer la première colonne à toutes les autres nous fait disparaître la dépendance en $X$ dans toutes les colonnes sauf la première.
Ensuite, un développement selon la première colonne nous permettrait alors de conclure que $P$ est de degré (au plus) $1$ .
Il nous faut spécialiser le polynôme en $-a$ et $-b$ pour rendre la matrice $T+XJ$ triangulaire (et ainsi le déterminant sera le produit des coefficients diagonaux, soit $\prod(x_i-\alpha)$ avec $\alpha\in\{a,b\}$ selon la spécialisation).

Ensuite en écrivant $P$ sous la forme $c\frac{X+a}{a-b}+d$ on a que $d=P(-a)$ et $c=P(-b)-P(-a)$ . On en déduit alors que:
$\mathcal{T}=P(0)=\frac{a\cdot \prod_{i=1}^n(x_i-b) - b\cdot\prod_{i=1}^n(x_i-a)}{a-b} .$ 3) En développant comme l’indication $3$ le demande, on remarque que les termes contenant deux fois le vecteur $e$ vont valoir $0$ (car le déterminant est une forme alternée). Ainsi il ne restera que les termes où il n’apparaît qu’une seule fois et on développera la matrice formée selon la ligne orthogonale à $e$ (si ce dernier est dans la $i$ -ème colonne alors on prendra la ligne $i$ ). Ce qui nous donne:
$\mathcal{T}=\prod_{i=1}^n(x_i-a)+a\sum_{i=1}^n\prod_{j\neq i}(x_j-a)$ On vérifie d’ailleurs qu’on a bien la valeur voulue pour $a=0$ ou si deux des $x_i$ valent $a$ .

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