Un polynôme de degré bien bas...

1. En écrivant le déterminant, on note que retirer la première colonne à toutes les autres nous fait disparaître la dépendance en $X$ dans toutes les colonnes sauf la première.
   Ensuite, un développement selon la première colonne nous permettrait alors de conclure que $P$ est de degré (au plus) $1$.

2. Il nous faut spécialiser le polynôme en $-a$ et $-b$ pour rendre la matrice $T+XJ$ triangulaire (et ainsi le déterminant sera le produit des coefficients diagonaux, soit $\prod(x_i-\alpha)$ avec $\alpha\in\{a,b\}$ selon la spécialisation).

Ensuite en écrivant $P$ sous la forme $c\frac{X+a}{a-b}+d$ on a que $d=P(-a)$ et $c=P(-b)-P(-a)$. On en déduit alors que:
$$\mathcal{T}=P(0)=\frac{a\cdot \prod_{i=1}^n(x_i-b) - b\cdot\prod_{i=1}^n(x_i-a)}{a-b} .$$3) En développant comme l’indication $3$ le demande, on remarque que les termes contenant deux fois le vecteur $e$ vont valoir $0$ (car le déterminant est une forme alternée). Ainsi il ne restera que les termes où il n’apparaît qu’une seule fois et on développera la matrice formée selon la ligne orthogonale à $e$ (si ce dernier est dans la $i$-ème colonne alors on prendra la ligne $i$). Ce qui nous donne:
$$\mathcal{T}=\prod_{i=1}^n(x_i-a)+a\sum_{i=1}^n\prod_{j\neq i}(x_j-a)$$On vérifie d’ailleurs qu’on a bien la valeur voulue pour $a=0$ ou si deux des $x_i$ valent $a$.