Ivan Shishkin, Birch Grove

Dérivation en un point d’une variété

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Revision 7834

10/26/2026, 7:33:10 PM · Ancient Tree

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1##### Intuition
2
3Un [[espace-tangent-a-une-variete|vecteur tangent]] $v$ en un point $p$ peut être représenté par la vitesse d'une courbe $\gamma$. Mais on peut aussi le décrire par la manière dont les fonctions lisses varient le long de cette courbe. Pour toute fonction lisse $f\to\mathbb R$, on pose :
4$$
5D_v(f)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f(\gamma(t)).
6$$
7Cette quantité ne dépend que de $v$, et non de la courbe choisie. De plus, l'application $D_v$ est linéaire et vérifie la règle de Leibniz.
8
9Réciproquement, ces deux propriétés suffisent à caractériser les vecteurs tangents. C'est l'idée des dérivations en un point.
10
1##### Définition formelle
2
3Soit $M$ une [[variété lisse]] et $p\in M$. On note $C^\infty(M)$ l'[[algebre|algèbre]] des fonctions lisses de $M$ dans $\mathbb R$.
4Une dérivation en $p$ est une [[application-lineaire|application linéaire]]
5$$
6D\colon C^\infty(M)\longrightarrow\mathbb R
7$$
8vérifiant la règle de Leibniz : pour toutes fonctions $f,g\in C^\infty(M)$,
9$$
10D(fg)=f(p)D(g)+g(p)D(f).
11$$

Revision 7833

10/26/2026, 4:14:25 PM · Ancient Tree

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1##### Définition formelle
2
3Soit $M$ une [[variété lisse]] et $p\in M$. On note $C^\infty(M)$ l'[[algebre|algèbre]] des fonctions lisses de $M$ dans $\mathbb R$.
4Une dérivation en $p$ est une [[application-lineaire|application linéaire]]
5$$
6D\colon C^\infty(M)\longrightarrow\mathbb R
7$$
8qui vérifiant la règle de Leibniz : pour toutes fonctions $f,g\in C^\infty(M)$,
8vérifiant la règle de Leibniz : pour toutes fonctions $f,g\in C^\infty(M)$,
9$$
10D(fg)=f(p)D(g)+g(p)D(f).
11$$

Revision 7832

10/26/2026, 4:14:02 PM · Ancient Tree

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1##### Définition formelle
2
3Soit $M$ une [[variété lisse]] et $p\in M$. On note $C^\infty(M)$ l'[[algebre|algèbre]] des fonctions lisses de $M$ dans $\mathbb R$.
4Une dérivation en $p$ est une application
4Une dérivation en $p$ est une [[application-lineaire|application linéaire]]
5$$
6D\colon C^\infty(M)\longrightarrow\mathbb R
7$$
8qui vérifie les deux propriétés suivantes :
8qui vérifiant la règle de Leibniz : pour toutes fonctions $f,g\in C^\infty(M)$,
9
101. Linéarité : pour toutes fonctions $f,g\in C^\infty(M)$ et tous réels $a,b$,
11$$
12D(af+bg)=aD(f)+bD(g).
13$$
142. Règle de Leibniz : pour toutes fonctions $f,g\in C^\infty(M)$,
15$$
16D(fg)=f(p)D(g)+g(p)D(f).
17$$

Revision 7831

10/26/2026, 4:13:04 PM · Ancient Tree

Concept created

##### Définition formelle

Soit $M$ une [[variété lisse]] et $p\in M$. On note $C^\infty(M)$ l'[[algebre|algèbre]] des fonctions lisses de $M$ dans $\mathbb R$.
Une dérivation en $p$ est une application
$$
D\colon C^\infty(M)\longrightarrow\mathbb R
$$
qui vérifie les deux propriétés suivantes :

1. Linéarité : pour toutes fonctions $f,g\in C^\infty(M)$ et tous réels $a,b$,
$$
D(af+bg)=aD(f)+bD(g).
$$
2. Règle de Leibniz : pour toutes fonctions $f,g\in C^\infty(M)$,
$$
D(fg)=f(p)D(g)+g(p)D(f).
$$