Dérivation en un point d’une variété

Intuition

Un vecteur tangent $v$ en un point $p$ peut être représenté par la vitesse d’une courbe $\gamma$. Mais on peut aussi le décrire par la manière dont les fonctions lisses varient le long de cette courbe. Pour toute fonction lisse $f\to\mathbb R$, on pose :
$$D_v(f)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f(\gamma(t)).$$Cette quantité ne dépend que de $v$, et non de la courbe choisie. De plus, l’application $D_v$ est linéaire et vérifie la règle de Leibniz.

Réciproquement, ces deux propriétés suffisent à caractériser les vecteurs tangents. C’est l’idée des dérivations en un point.

Définition formelle

Soit $M$ une variété lisse et $p\in M$. On note $C^\infty(M)$ l'algèbre des fonctions lisses de $M$ dans $\mathbb R$.
Une dérivation en $p$ est une application linéaire
$$D\colon C^\infty(M)\longrightarrow\mathbb R$$vérifiant la règle de Leibniz : pour toutes fonctions $f,g\in C^\infty(M)$,
$$D(fg)=f(p)D(g)+g(p)D(f).$$