Application linéaire

Intuition

Les espaces vectoriels servent à additionner des vecteurs et à les multiplier par des nombres. Une application linéaire est une application entre espaces vectoriels qui respecte naturellement ces opérations : l’image d’une somme est la somme des images, et multiplier un vecteur avant ou après l’application revient au même.

Ces applications sont particulièrement importantes car elles sont à la fois simples à étudier et suffisamment riches pour décrire de nombreuses transformations : rotations, projections, symétries, changements de coordonnées, etc.

Définition formelle

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur un même corps $K$.
Une application
$$f:E\rightarrow F$$est dite linéaire si, pour tous $x,y\in E$, et tout $\lambda \in K$,
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$et
$$f(\lambda x)=\lambda f(x).$$

Notation

On note $\mathcal{L}(E,F)$, l’ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$.