Dérivée partielle
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Revision 6281
9/30/2026, 2:09:46 PM · SalixBabylonica
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1
##### Définition formelle2
Soient $d,p\in\mathbb{N}^*$.3
Soit $D$ un ouvert de $\mathbb{R}^d$, $a=(a_1,\dots,a_d)\in D$ et $f:D\to\mathbb{R}^p$. 4
Soit $(e_1,\dots,e_d)$ la base canonique de $\mathbb{R}^d$. 5
On dit que $f$ admet une dérivée partielle par rapport à sa $j$-ième variable en $a$ lorsque la limite6
\[ \lim_{t\to 0} \frac{f(a+t e_j)-f(a)}{t} \]7
existe. Cette limite est appelée dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $x_j$ en $a$ et est notée8
\[ \frac{\partial f}{\partial x_j}(a), \qquad \partial_j f(a), \qquad \text{ou encore} \qquad D_{e_j}f(a). \]9
##### Remarque 10
- Lorsque $d=1$, les notions de dérivée partielle et de dérivée usuelle pour les [[fonction vectoriel |fonctions vectorielles]] coïncident.10
- Lorsque $d=1$, les notions de dérivée partielle et de dérivée usuelle pour les [[fonction vectorielle |fonctions vectorielles]] coïncident.11
- **Attention**, l'existence des dérivées partielles n'implique pas, en général, la continuité de la fonction.12
Ce n'est vrai que lorsque $d=1$.13
14
- Les dérivées partielles sont des cas particuliers de [[dérivées directionnelles]]. En effet, pour tout $j\in\llbracket 1,d\rrbracket$,15
\[ \frac{\partial f}{\partial x_j}(a) = D_{e_j}f(a). \]16
- Pour calculer la dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $x_j$, on considère toutes les autres variables comme des constantes et l'on dérive uniquement par rapport à $x_j$ comme dans le cas d'une fonction d'une variable réelle. Autrement dit, lorsque17
\[ f=f(x_1,\ldots,x_d), \]18
le calcul de $\frac{\partial f}{\partial x_j}$19
s'effectue en considérant20
\[ x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_d \]21
comme des constantes.22
23
##### Exemple 24
Considérons25
\[ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, \qquad f(x,y)=x^2y+y^3. \]26
Alors27
\[ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2xy, \]28
et29
\[ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^2+3y^2. \]Revision 6278
9/30/2026, 1:57:40 PM · SalixBabylonica
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1
##### Définition formelle2
Soient $d,p\in\mathbb{N}^*$.3
Soit $D$ un ouvert de $\mathbb{R}^d$, $a=(a_1,\dots,a_d)\in D$ et $f:D\to\mathbb{R}^p$. 4
Soit $(e_1,\dots,e_d)$ la base canonique de $\mathbb{R}^d$. 5
On dit que $f$ admet une dérivée partielle par rapport à sa $j$-ième variable en $a$ lorsque la limite6
\[ \lim_{t\to 0} \frac{f(a+t e_j)-f(a)}{t} \]7
existe. Cette limite est appelée dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $x_j$ en $a$ et est notée8
\[ \frac{\partial f}{\partial x_j}(a), \qquad \partial_j f(a), \qquad \text{ou encore} \qquad D_{e_j}f(a). \]9
##### Remarque 10
- Lorsque $d=1$, les notions de dérivée partielle et de dérivée usuelle coïncident.10
- Lorsque $d=1$, les notions de dérivée partielle et de dérivée usuelle pour les [[fonction vectoriel |fonctions vectorielles]] coïncident.11
- **Attention**, l'existence des dérivées partielles n'implique pas, en général, la continuité de la fonction.12
Ce n'est vrai que lorsque $d=1$.13
14
- Les dérivées partielles sont des cas particuliers de [[dérivées directionnelles]]. En effet, pour tout $j\in\llbracket 1,d\rrbracket$,15
\[ \frac{\partial f}{\partial x_j}(a) = D_{e_j}f(a). \]16
- Pour calculer la dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $x_j$, on considère toutes les autres variables comme des constantes et l'on dérive uniquement par rapport à $x_j$ comme dans le cas d'une fonction d'une variable réelle. Autrement dit, lorsque17
\[ f=f(x_1,\ldots,x_d), \]18
le calcul de $\frac{\partial f}{\partial x_j}$19
s'effectue en considérant20
\[ x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_d \]21
comme des constantes.22
23
##### Exemple 24
Considérons25
\[ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, \qquad f(x,y)=x^2y+y^3. \]26
Alors27
\[ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2xy, \]28
et29
\[ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^2+3y^2. \]Revision 6277
9/30/2026, 1:48:35 PM · SalixBabylonica
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1
##### Définition formelle2
Soient $d,p\in\mathbb{N}^*$.3
Soit $D$ un ouvert de $\mathbb{R}^d$, $a=(a_1,\dots,a_d)\in D$ et $f:D\to\mathbb{R}^p$. 4
Soit $(e_1,\dots,e_d)$ la base canonique de $\mathbb{R}^d$. 5
On dit que $f$ admet une dérivée partielle par rapport à sa $j$-ième variable en $a$ lorsque la limite6
\[ \lim_{t\to 0} \frac{f(a+t e_j)-f(a)}{t} \]7
existe. Cette limite est appelée dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $x_j$ en $a$ et est notée8
\[ \frac{\partial f}{\partial x_j}(a), \qquad \partial_j f(a), \qquad \text{ou encore} \qquad D_{e_j}f(a). \]9
##### Remarque 10
- Lorsque $d=1$, les notions de dérivée partielle et de dérivée usuelle coïncident.11
- **Attention**, l'existence des dérivées partielles n'implique pas, en général, la continuité de la fonction.12
Ce n'est vrai que lorsque $d=1$.13
10
- Les dérivées partielles sont des cas particuliers de [[dérivées directionnelles]]. En effet, pour tout $j\in\llbracket 1,d\rrbracket$,11
\[ \frac{\partial f}{\partial x_j}(a) = D_{e_j}f(a). \]12
- Pour calculer la dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $x_j$, on considère toutes les autres variables comme des constantes et l'on dérive uniquement par rapport à $x_j$ comme dans le cas d'une fonction d'une variable réelle. Autrement dit, lorsque13
\[ f=f(x_1,\ldots,x_d), \]14
le calcul de18
le calcul de $\frac{\partial f}{\partial x_j}$15
\[ \frac{\partial f}{\partial x_j} \]16
s'effectue en considérant17
\[ x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_d \]18
comme des constantes.19
20
##### Exemple 21
Considérons22
\[ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, \qquad f(x,y)=x^2y+y^3. \]23
Alors24
\[ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2xy, \]25
et26
\[ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^2+3y^2. \]Revision 6276
9/30/2026, 1:41:31 PM · SalixBabylonica
Concept created
##### Définition formelle
Soient $d,p\in\mathbb{N}^*$.
Soit $D$ un ouvert de $\mathbb{R}^d$, $a=(a_1,\dots,a_d)\in D$ et $f:D\to\mathbb{R}^p$.
Soit $(e_1,\dots,e_d)$ la base canonique de $\mathbb{R}^d$.
On dit que $f$ admet une dérivée partielle par rapport à sa $j$-ième variable en $a$ lorsque la limite
\[ \lim_{t\to 0} \frac{f(a+t e_j)-f(a)}{t} \]
existe. Cette limite est appelée dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $x_j$ en $a$ et est notée
\[ \frac{\partial f}{\partial x_j}(a), \qquad \partial_j f(a), \qquad \text{ou encore} \qquad D_{e_j}f(a). \]
##### Remarque
- Les dérivées partielles sont des cas particuliers de [[dérivées directionnelles]]. En effet, pour tout $j\in\llbracket 1,d\rrbracket$,
\[ \frac{\partial f}{\partial x_j}(a) = D_{e_j}f(a). \]
- Pour calculer la dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $x_j$, on considère toutes les autres variables comme des constantes et l'on dérive uniquement par rapport à $x_j$ comme dans le cas d'une fonction d'une variable réelle. Autrement dit, lorsque
\[ f=f(x_1,\ldots,x_d), \]
le calcul de
\[ \frac{\partial f}{\partial x_j} \]
s'effectue en considérant
\[ x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_d \]
comme des constantes.
##### Exemple
Considérons
\[ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, \qquad f(x,y)=x^2y+y^3. \]
Alors
\[ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2xy, \]
et
\[ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^2+3y^2. \]