Dérivée partielle

Définition formelle

Soient $d,p\in\mathbb{N}^*$.
Soit $D$ un ouvert de $\mathbb{R}^d$, $a=(a_1,\dots,a_d)\in D$ et $f:D\to\mathbb{R}^p$.
Soit $(e_1,\dots,e_d)$ la base canonique de $\mathbb{R}^d$.
On dit que $f$ admet une dérivée partielle par rapport à sa $j$-ième variable en $a$ lorsque la limite
$$\lim_{t\to 0} \frac{f(a+t e_j)-f(a)}{t}$$existe. Cette limite est appelée dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $x_j$ en $a$ et est notée
$$\frac{\partial f}{\partial x_j}(a), \qquad \partial_j f(a), \qquad \text{ou encore} \qquad D_{e_j}f(a).$$

Remarque

• Lorsque $d=1$, les notions de dérivée partielle et de dérivée usuelle pour les fonctions vectorielles coïncident.

• Attention, l’existence des dérivées partielles n’implique pas, en général, la continuité de la fonction.
  Ce n’est vrai que lorsque $d=1$.

• Les dérivées partielles sont des cas particuliers de dérivées directionnelles. En effet, pour tout $j\in\llbracket 1,d\rrbracket$,
  $$\frac{\partial f}{\partial x_j}(a) = D_{e_j}f(a).$$

• Pour calculer la dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $x_j$, on considère toutes les autres variables comme des constantes et l’on dérive uniquement par rapport à $x_j$ comme dans le cas d’une fonction d’une variable réelle. Autrement dit, lorsque
  $$f=f(x_1,\ldots,x_d),$$le calcul de $\frac{\partial f}{\partial x_j}$
  s’effectue en considérant
  $$x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_d$$comme des constantes.

Exemple

Considérons
$$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, \qquad f(x,y)=x^2y+y^3.$$Alors
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2xy,$$et
$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^2+3y^2.$$