Dérivées directionnelles

Définition formelle

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), munis de leurs normes respectives $\|\cdot\|_E$ et $\|\cdot\|_F$.
Soit $D\subset E$ un ouvert, $a\in D$ et $v\in E$. Soit $f:D\to F$ une application.

On dit que $f$ admet une dérivée directionnelle en $a$ dans la direction $v$ lorsque la limite
$$\lim_{t\to 0} \frac{f(a+tv)-f(a)}{t}$$existe. Cette limite est alors notée
$$d_vf(a), \quad D_vf(a), \quad Df(a)(v), \quad \text{ou} \quad f'_G(a,v), \quad\text{ou encore}\qquad \frac{\partial f}{\partial v}(a).$$

Remarque

• La dérivée directionnelle $Df(a)(v)$ appartient à $F$.
• Lorsque $E=\mathbb R^d$ et que l’on considère la base canonique $(e_1,\dots,e_d),$ la dérivée directionnelle selon le vecteur $e_j$ est la dérivée partielle par rapport à la $j$-ième variable.

Exemple

• Considérons l’application
  $$f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad f(x,y)=x^2+y^2.$$Calculons la dérivée directionnelle de $f$ au point $a=(1,2)$ dans la direction $v=(3,-1)$.
  Par définition,
  $$Df(a)(v) = \lim_{t\to 0} \frac{f(a+tv)-f(a)}{t}.$$Or,
  $$a+tv = (1+3t,\,2-t),$$donc
  $$f(a+tv) = (1+3t)^2+(2-t)^2.$$En développant,
  $$f(a+tv) = 1+6t+9t^2+4-4t+t^2 = 5+2t+10t^2.$$Comme
  $$f(a)=1^2+2^2=5,$$on obtient
  $$\frac{f(a+tv)-f(a)}{t} = \frac{2t+10t^2}{t} = 2+10t.$$En faisant tendre $t$ vers $0$,
  $$Df(a)(v) = \lim_{t\to 0}(2+10t) = 2.$$