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##### Définition formelle
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), munis de leurs normes respectives $\|\cdot\|_E$ et $\|\cdot\|_F$. 
Soit $D\subset E$ un ouvert, $a\in D$ et $v\in E$. Soit $f:D\to F$ une application. 

On dit que $f$ admet une *dérivée directionnelle* en $a$ dans la direction $v$ lorsque la limite
\[ \lim_{t\to 0} \frac{f(a+tv)-f(a)}{t} \]
existe. Cette limite est alors notée
\[ d_vf(a), \quad D_vf(a), \quad Df(a)(v), \quad \text{ou} \quad f'_G(a,v), \quad\text{ou encore}\qquad \frac{\partial f}{\partial v}(a). \]

##### Remarque
- Lorsque $E=\mathbb R^d$ et que l'on considère la [[base canonique]] $(e_1,\dots,e_d),$ la dérivée directionnelle selon le vecteur $e_j$ est la [[dérivée partielle]] par rapport à la $j$-ième variable.

##### Exemple 
- Considérons l'application
\[ f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad f(x,y)=x^2+y^2. \]
Calculons la dérivée directionnelle de $f$ au point $a=(1,2)$ dans la direction $v=(3,-1)$.
Par définition,
\[ Df(a)(v) = \lim_{t\to 0} \frac{f(a+tv)-f(a)}{t}. \]
Or,
\[ a+tv = (1+3t,\,2-t), \]
donc
\[ f(a+tv) = (1+3t)^2+(2-t)^2. \]
En développant,
\[ f(a+tv) = 1+6t+9t^2+4-4t+t^2 = 5+2t+10t^2. \]
Comme
\[ f(a)=1^2+2^2=5, \]
on obtient
\[ \frac{f(a+tv)-f(a)}{t} = \frac{2t+10t^2}{t} = 2+10t. \]
En faisant tendre $t$ vers $0$,
\[ Df(a)(v) = \lim_{t\to 0}(2+10t) = 2. \]