Différentielle d’une fonction
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Revision 7762
10/25/2026, 11:37:11 AM · SalixBabylonica
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1
##### Intuition2
3
On voudrait généraliser la notion de [[derivee|dérivée]] aux fonctions de plusieurs variables. Mais dans plusieurs dimensions, la variation d'une fonction dépend de la direction dans laquelle on se déplace.4
5
La différentielle répond à ce problème : c'est une [[application-lineaire|application linéaire]] qui approxime la variation de la fonction au voisinage d'un point.6
7
##### Définition formelle8
9
Soient $E$ et $F$ deux [[espace-vectoriel-norme|espaces vectoriels normés]], $U$ un ouvert de $E$, $f:U\to F$ et $a\in U$.10
On dit que $f$ est différentiable en $a$ s'il existe une application linéaire continue $L:E\to F$ telle que11
$$f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|)$$12
lorsque $h\to 0$.13
14
Cette application $L$, nécessairement unique, est appelée différentielle de $f$ en $a$, notée $df_a$.15
16
##### Remarques 17
- En pratique, il existe essentiellement deux méthodes pour montrer que $f$ est différentiable en $a$ :18
1) On développe directement $f(a+h)$ et on cherche à l'écrire sous la forme19
\[ f(a+h)=f(a)+L(h)+r(h), \]20
où $L$ est une application linéaire continue et21
\[ \frac{\|r(h)\|}{\|h\|} \longrightarrow 0 \qquad (h\to 0). \]22
On obtient alors23
\[ f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|), \]24
et donc $f$ est différentiable en $a$ de différentielle $df_a=L$.25
26
2) On calcule d'abord la [[Gateaux-différentiabilité | Gateaux-différentielle]] de $f$ en $a$ :26
2) On calcule d'abord la [[Gateaux-différentiabilité | Gateaux-différentielle]] de $f$ en $a$, c'est-à-dire, on calcule pour tout $h$27
\[ f'_G(a;h) = \lim_{t\to 0} \frac{f(a+th)-f(a)}{t}, \]28
puis on vérifie que l'application29
\[ h\longmapsto f'_G(a;h) \]30
est linéaire continue et que31
\[ \frac{\|f(a+h)-f(a)-f'_G(a;h)\|}{\|h\|} \longrightarrow 0 \qquad (h\to 0). \]32
On en déduit alors que $f$ est différentiable en $a$ et33
\[ df_a=f'_G(a;\cdot). \]Revision 7761
10/25/2026, 11:26:17 AM · SalixBabylonica
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##### Intuition2
3
On voudrait généraliser la notion de [[derivee|dérivée]] aux fonctions de plusieurs variables. Mais dans plusieurs dimensions, la variation d'une fonction dépend de la direction dans laquelle on se déplace.4
5
La différentielle répond à ce problème : c'est une [[application-lineaire|application linéaire]] qui approxime la variation de la fonction au voisinage d'un point.6
7
##### Définition formelle8
9
Soient $E$ et $F$ deux [[espace-vectoriel-norme|espaces vectoriels normés]], $U$ un ouvert de $E$, $f:U\to F$ et $a\in U$.10
On dit que $f$ est différentiable en $a$ s'il existe une application linéaire continue $L:E\to F$ telle que11
$$f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|)$$12
lorsque $h\to 0$.13
14
Cette application $L$, nécessairement unique, est appelée différentielle de $f$ en $a$, notée $df_a$.15
16
##### Remarques 17
- En pratique, il existe essentiellement deux méthodes pour montrer que $f$ est différentiable en $a$ :18
1) On développe directement $f(a+h)$ et on cherche à l'écrire sous la forme19
\[ f(a+h)=f(a)+L(h)+r(h), \]20
où $L$ est une application linéaire continue et21
\[ \frac{\|r(h)\|}{\|h\|} \longrightarrow 0 \qquad (h\to 0). \]22
On obtient alors23
\[ f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|), \]24
et donc $f$ est différentiable en $a$ de différentielle $df_a=L$.25
26
2) On calcule d'abord la [[Gateaux-différentielle]] de $f$ en $a$ :26
2) On calcule d'abord la [[Gateaux-différentiabilité | Gateaux-différentielle]] de $f$ en $a$ :27
\[ f'_G(a;h) = \lim_{t\to 0} \frac{f(a+th)-f(a)}{t}, \]28
puis on vérifie que l'application29
\[ h\longmapsto f'_G(a;h) \]30
est linéaire continue et que31
\[ \frac{\|f(a+h)-f(a)-f'_G(a;h)\|}{\|h\|} \longrightarrow 0 \qquad (h\to 0). \]32
On en déduit alors que $f$ est différentiable en $a$ et33
\[ df_a=f'_G(a;\cdot). \]Revision 7760
10/25/2026, 11:24:14 AM · SalixBabylonica
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1
##### Intuition2
3
On voudrait généraliser la notion de [[derivee|dérivée]] aux fonctions de plusieurs variables. Mais dans plusieurs dimensions, la variation d'une fonction dépend de la direction dans laquelle on se déplace.4
5
La différentielle répond à ce problème : c'est une [[application-lineaire|application linéaire]] qui approxime la variation de la fonction au voisinage d'un point.6
7
##### Définition formelle8
9
Soient $E$ et $F$ deux [[espace-vectoriel-norme|espaces vectoriels normés]], $U$ un ouvert de $E$, $f:U\to F$ et $a\in U$.10
On dit que $f$ est différentiable en $a$ s'il existe une application linéaire continue $L:E\to F$ telle que11
$$f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|)$$12
lorsque $h\to 0$.13
14
Cette application $L$, nécessairement unique, est appelée différentielle de $f$ en $a$, notée $df_a$.15
16
##### Remarques 17
- En pratique, il existe essentiellement deux méthodes pour montrer que $f$ est différentiable en $a$ :18
1) On développe directement $f(a+h)$ et on cherche à l'écrire sous la forme19
\[ f(a+h)=f(a)+L(h)+r(h), \]20
où $L$ est une application linéaire continue et21
\[ \frac{\|r(h)\|}{\|h\|} \longrightarrow 0 \qquad (h\to 0). \]22
On obtient alors23
\[ f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|), \]24
et donc $f$ est différentiable en $a$ de différentielle $df_a=L$.25
26
2) On calcule d'abord la [[Gateaux-différentielle]] de $f$ en $a$ :27
\[ f'_G(a;h) = \lim_{t\to 0} \frac{f(a+th)-f(a)}{t}, \]28
puis on vérifie que l'application29
\[ h\longmapsto f'_G(a;h) \]30
est linéaire continue et que31
\[ \frac{\|f(a+h)-f(a)-f'_G(a;h)\|}{\|h\|} \longrightarrow 0 \qquad (h\to 0). \]32
On en déduit alors que $f$ est différentiable en $a$ et33
\[ df_a=f'_G(a;\cdot). \]Revision 7558
10/21/2026, 3:35:36 PM · Ancient Tree
Updated linked exercises
linked exercisesUn petit calcul de différentielle, Une fonction différentiable est continueUn petit calcul de différentielle
Revision 7554
10/21/2026, 3:30:47 PM · Ancient Tree
Added exercise "Une fonction différentiable est continue"
linked exercisesUn petit calcul de différentielleUn petit calcul de différentielle, Une fonction différentiable est continue
Revision 7544
10/21/2026, 1:54:14 PM · Ancient Tree
Added exercise "Un petit calcul de différentielle"
linked exercisesNoneUn petit calcul de différentielle
Revision 7541
10/21/2026, 1:50:46 PM · Ancient Tree
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##### Intuition2
3
On voudrait généraliser la notion de [[derivee|dérivée]] aux fonctions de plusieurs variables. Mais dans plusieurs dimensions, la variation d'une fonction dépend de la direction dans laquelle on se déplace.4
5
La différentielle répond à ce problème : c'est une [[application-lineaire|application linéaire]] qui approxime la variation de la fonction au voisinage d'un point.6
7
##### Définition formelle8
9
Soient $E$ et $F$ deux [[espace-vectoriel-norme|espaces vectoriels normés]], $U$ un ouvert de $E$, $f:U\to F$ et $a\in U$.10
On dit que $f$ est **différentiable en $a$** s'il existe une application linéaire continue $L:E\to F$ telle que10
On dit que $f$ est différentiable en $a$ s'il existe une application linéaire continue $L:E\to F$ telle que11
$$f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|)$$12
lorsque $h\to 0$.13
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Cette application $L$, nécessairement unique, est appelée **différentielle de $f$ en $a$**, notée $df_a$.14
Cette application $L$, nécessairement unique, est appelée différentielle de $f$ en $a$, notée $df_a$.Revision 7540
10/21/2026, 1:50:12 PM · Ancient Tree
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##### Intuition On voudrait généraliser la notion de [[derivee|dérivée]] aux fonctions de plusieurs variables. Mais dans plusieurs dimensions, la variation d'une fonction dépend de la direction dans laquelle on se déplace. La différentielle répond à ce problème : c'est une [[application-lineaire|application linéaire]] qui approxime la variation de la fonction au voisinage d'un point. ##### Définition formelle Soient $E$ et $F$ deux [[espace-vectoriel-norme|espaces vectoriels normés]], $U$ un ouvert de $E$, $f:U\to F$ et $a\in U$. On dit que $f$ est **différentiable en $a$** s'il existe une application linéaire continue $L:E\to F$ telle que $$f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|)$$ lorsque $h\to 0$. Cette application $L$, nécessairement unique, est appelée **différentielle de $f$ en $a$**, notée $df_a$.