Différentielle d’une fonction

Intuition

On voudrait généraliser la notion de dérivée aux fonctions de plusieurs variables. Mais dans plusieurs dimensions, la variation d’une fonction dépend de la direction dans laquelle on se déplace.

La différentielle répond à ce problème : c’est une application linéaire qui approxime la variation de la fonction au voisinage d’un point.

Définition formelle

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, $U$ un ouvert de $E$, $f:U\to F$ et $a\in U$.
On dit que $f$ est différentiable en $a$ s’il existe une application linéaire continue $L:E\to F$ telle que
$$f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|)$$lorsque $h\to 0$.

Cette application $L$, nécessairement unique, est appelée différentielle de $f$ en $a$, notée $df_a$.

Remarques

• En pratique, il existe essentiellement deux méthodes pour montrer que $f$ est différentiable en $a$ :

1. On développe directement $f(a+h)$ et on cherche à l’écrire sous la forme
   $$f(a+h)=f(a)+L(h)+r(h),$$où $L$ est une application linéaire continue et
   $$\frac{\|r(h)\|}{\|h\|} \longrightarrow 0 \qquad (h\to 0).$$On obtient alors
   $$f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|),$$et donc $f$ est différentiable en $a$ de différentielle $df_a=L$.

2. On calcule d’abord la Gateaux-différentielle de $f$ en $a$, c’est-à-dire, on calcule pour tout $h$
   $$f'_G(a;h) = \lim_{t\to 0} \frac{f(a+th)-f(a)}{t},$$puis on vérifie que l’application
   $$h\longmapsto f'_G(a;h)$$est linéaire continue et que
   $$\frac{\|f(a+h)-f(a)-f'_G(a;h)\|}{\|h\|} \longrightarrow 0 \qquad (h\to 0).$$On en déduit alors que $f$ est différentiable en $a$ et
   $$df_a=f'_G(a;\cdot).$$