Un petit calcul de différentielle

Pour calculer une différentielle, un premier réflexe à avoir est de développer la fonction autour du point considéré, ici un point quelconque $(x,y)$. On pose donc $(h,k)\in \R^{2}$ et on considère :
$$f((x,y)+(h,k))=f(x+h,y+k)=(x+h)^{2}+(y+k)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}+y^{2}+2yk+k^{2}.$$Mais là-dedans, on reconnaît $x^{2}+y^{2}=f(x,y)$ !

On a donc
$$f((x,y)+(h,k))=f(x,y)+2xh+2yk+h^{2}+k^{2}.$$Parmi les termes additionnels, on remarque que $2xh+2yk$ est une application linéaire en $(h,k)$ (avec $(x,y)$ fixé).
Finalement, $h^{2}+k^{2}$ est un terme que l’on va considérer comme négligeable (comme justifié ci-dessous).

Ainsi, la différentielle est l’application $df_{(x,y)}(h,k)=2xh+2yk$, ce que l’on note de manière plus concise comme :
$$df_{(x,y)}=2xdx+2ydy.$$

Pourquoi $h^{2}+k^{2}$ est négligeable ?

Par définition de la différentielle, le terme restant doit être un $o(\|(h,k)\|)$ lorsque $(h,k)\to(0,0)$.
(Ceci est la notation du petit o).

Or, pour la norme euclidienne, $\|(h,k)\|=\sqrt{h^2+k^2}.$
Ainsi, pour $(h,k)\neq(0,0)$,
$$\frac{h^2+k^2}{\|(h,k)\|}=\sqrt{h^2+k^2}\xrightarrow[(h,k)\to(0,0)]{}0.$$Donc
$$h^2+k^2=o(\|(h,k)\|).$$

C’est précisément ce qui permet de négliger ce terme et de conclure que la partie linéaire identifiée est bien la différentielle.