Gâteaux-différentiabilité

Définition intuitive

On définit la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$ comme étant l’application qui a une direction $v$ lui associe la dérivée directionnelle de $f$ en $a$ dans la direction $v$.

Lorsque la Gâteau différentielle de $f$ en $a$ est linéaire continue, on dit que $f$ est Gâteau-différentiable en $a$.

Définition formelle

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), munis de leurs normes respectives $\|\cdot\|_E$ et $\|\cdot\|_F$.
Soit $D\subset E$ un ouvert, $a\in D$. Soit $f:D\to F$ une application.

On dit que $f$ est Gâteaux-différentiable en $a$ si l’application
$$f'_G(a;\cdot) : \begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & F \\ v & \longmapsto & f'_G(a;v) \end{array}$$appartient à $\mathcal L_{c}(E,F)$.
Dans ce cas, $f'_{G}(a;\cdot)$ est la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$.

(On rappelle que $f'_{G}(a;v)$ est la dérivée directionnelle au point $a$ selon le vecteur $v$.)

Remarque

• Attention, la Gâteau-différentiabilité de $f$ n’implique, en général, toujours pas la continuité de la fonction $f$!