Gâteaux-différentiabilité
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Revision 7759
10/25/2026, 11:15:14 AM · SalixBabylonica
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##### Définition intuitive2
On définit la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$ comme étant l'application qui a une direction $v$ lui associe la [[dérivée directionnelle]] de $f$ en $a$ dans la direction $v$.3
4
Lorsque la Gâteau différentielle de $f$ en $a$ est [[linéaire continue]], on dit que $f$ est Gâteau-différentiable en $a$.5
6
##### Définition formelle7
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), munis de leurs normes respectives $\|\cdot\|_E$ et $\|\cdot\|_F$. 8
Soit $D\subset E$ un ouvert, $a\in D$. Soit $f:D\to F$ une application. 9
10
11
On dit que $f$ est *Gâteaux-différentiable* en $a$ si l'application12
\[ f'_G(a;\cdot) : \begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & F \\ v & \longmapsto & f'_G(a;v) \end{array} \]13
appartient à $\mathcal L_{c}(E,F)$.14
Dans ce cas, $f'_{G}(a;\cdot)$ est la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$.15
16
(On rapelle que $f'_{G}(a;v)$ est la [[dérivée directionnelle]] au point $a$ selon le vecteur $v$.)16
(On rappelle que $f'_{G}(a;v)$ est la [[dérivée directionnelle]] au point $a$ selon le vecteur $v$.)17
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##### Remarque19
- **Attention**, la Gâteau-différentiabilité de $f$ n'implique, en général, toujours pas la continuité de la fonction $f$!Revision 7758
10/25/2026, 11:14:41 AM · SalixBabylonica
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##### Définition intuitive2
On définit la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$ comme étant l'application qui a une direction $v$ lui associe la [[dérivée directionnelle]] de $f$ en $a$ dans la direction $v$.3
4
Lorsque la Gâteau différentielle de $f$ en $a$ est [[linéaire continue]], on dit que $f$ est Gâteau-différentiable en $a$.5
6
##### Définition formelle7
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), munis de leurs normes respectives $\|\cdot\|_E$ et $\|\cdot\|_F$. 8
Soit $D\subset E$ un ouvert, $a\in D$. Soit $f:D\to F$ une application. 9
(On rapelle que $f'_{G}(a;v)$ est la [[dérivée directionnelle]] au point $a$ selon le vecteur $v$.)10
10
11
On dit que $f$ est *Gâteaux-différentiable* en $a$ si l'application12
\[ f'_G(a;\cdot) : \begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & F \\ v & \longmapsto & f'_G(a;v) \end{array} \]13
appartient à $\mathcal L_{c}(E,F)$.14
Dans ce cas, $f'_{G}(a;\cdot)$ est la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$.15
16
(On rapelle que $f'_{G}(a;v)$ est la [[dérivée directionnelle]] au point $a$ selon le vecteur $v$.)17
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##### Remarque17
- **Attention**, la Gâteau-différentiabilité de $f$ n'implique, en général, toujours pas la continuité de la fonction $f$!Revision 7757
10/25/2026, 11:14:17 AM · SalixBabylonica
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##### Définition intuitive2
On définit la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$ comme étant l'application qui a une direction $v$ lui associe la [[dérivée directionnelle]] de $f$ en $a$ dans la direction $v$.3
4
Lorsque la Gâteau différentielle de $f$ en $a$ est [[linéaire continue]], on dit que $f$ est Gâteau-différentiable en $a$.5
6
##### Définition formelle7
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), munis de leurs normes respectives $\|\cdot\|_E$ et $\|\cdot\|_F$. 8
Soit $D\subset E$ un ouvert, $a\in D$. Soit $f:D\to F$ une application. 9
(On rapelle que $f'_{G}(a;v)$ est la [[dérivée directionnelle]] au point $a$ selon le vecteur $v$.)9
10
On dit que $f$ est *Gâteaux-différentiable* en $a$ si l'application11
\[ f'_G(a;\cdot) : \begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & F \\ v & \longmapsto & f'_G(a;v) \end{array} \]12
appartient à $\mathcal L_{c}(E,F)$.13
Dans ce cas, $f'_{G}(a;\cdot)$ est la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$.14
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##### Remarque16
- **Attention**, la Gâteau-différentiabilité de $f$ n'implique, en général, toujours pas la continuité de la fonction $f$!Revision 6434
10/2/2026, 12:21:07 PM · SalixBabylonica
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##### Définition intuitive2
On définit la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$ comme étant l'application qui a une direction $v$ lui associe la [[dérivée directionnelle]] de $f$ en $a$ dans la direction $v$.3
4
Lorsque la Gâteau différentielle de $f$ en $a$ est [[linéaire]], on dit que $f$ est Gâteau-différentiable en $a$.4
Lorsque la Gâteau différentielle de $f$ en $a$ est [[linéaire continue]], on dit que $f$ est Gâteau-différentiable en $a$.5
6
##### Définition formelle7
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), munis de leurs normes respectives $\|\cdot\|_E$ et $\|\cdot\|_F$. 8
Soit $D\subset E$ un ouvert, $a\in D$. Soit $f:D\to F$ une application. 9
10
On dit que $f$ est *Gâteaux-différentiable* en $a$ si l'application11
\[ f'_G(a;\cdot) : \begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & F \\ v & \longmapsto & f'_G(a;v) \end{array} \]12
appartient à $\mathcal L(E,F)$.12
appartient à $\mathcal L_{c}(E,F)$.13
Dans ce cas, $f'_{G}(a;\cdot)$ est la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$.14
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##### Remarque16
- **Attention**, la Gâteau-différentiabilité de $f$ n'implique, en général, toujours pas la continuité de la fonction $f$!Revision 6432
10/2/2026, 12:02:43 PM · SalixBabylonica
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##### Définition intuitive2
On définit la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$ comme étant l'application qui a une direction $v$ lui associe la dérivée directionnelle de $f$ en $a$ dans la direction $v$.2
On définit la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$ comme étant l'application qui a une direction $v$ lui associe la [[dérivée directionnelle]] de $f$ en $a$ dans la direction $v$.3
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Lorsque la Gâteau différentielle de $f$ en $a$ est linéaire, on dit que $f$ est Gâteau-différentiable en $a$.4
Lorsque la Gâteau différentielle de $f$ en $a$ est [[linéaire]], on dit que $f$ est Gâteau-différentiable en $a$.5
6
##### Définition formelle7
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), munis de leurs normes respectives $\|\cdot\|_E$ et $\|\cdot\|_F$. 8
Soit $D\subset E$ un ouvert, $a\in D$. Soit $f:D\to F$ une application. 9
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On dit que $f$ est *Gâteaux-différentiable* en $a$ si l'application11
\[ f'_G(a;\cdot) : \begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & F \\ v & \longmapsto & f'_G(a;v) \end{array} \]12
appartient à $\mathcal L(E,F)$.13
Dans ce cas, $f'_{G}(a;\cdot)$ est la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$.14
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##### Remarque16
- **Attention**, la Gâteau-différentiabilité de $f$ n'implique, en général, toujours pas la continuité de la fonction $f$!Revision 6431
10/2/2026, 12:02:08 PM · SalixBabylonica
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1
##### Définition intuitive2
On définit la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$ comme étant l'application qui a une direction $v$ lui associe la dérivée directionnelle de $f$ en $a$ dans la direction $v$.3
4
Lorsque la Gâteau différentielle de $f$ en $a$ est linéaire, on dit que $f$ est Gâteau-différentiable en $a$.5
1
##### Définition formelle2
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), munis de leurs normes respectives $\|\cdot\|_E$ et $\|\cdot\|_F$. 3
Soit $D\subset E$ un ouvert, $a\in D$. Soit $f:D\to F$ une application. 4
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On dit que $f$ est *Gâteaux-différentiable* en $a$ si l'application6
\[ f'_G(a;\cdot) : \begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & F \\ v & \longmapsto & f'_G(a;v) \end{array} \]7
appartient à $\mathcal L(E,F)$.8
Dans ce cas, $f'_{G}(a;\cdot)$ est la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$.9
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##### Remarque11
- **Attention**, la Gâteau-différentiabilité de $f$ n'implique, en général, toujours pas la continuité de la fonction $f$!Revision 6383
10/1/2026, 3:19:16 PM · SalixBabylonica
Updated text and domain
domainOtherFunction of several variables
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##### Définition formelle2
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), munis de leurs normes respectives $\|\cdot\|_E$ et $\|\cdot\|_F$. 3
Soit $D\subset E$ un ouvert, $a\in D$. Soit $f:D\to F$ une application. 4
5
On dit que $f$ est *Gâteaux-différentiable* en $a$ si l'application6
\[ f'_G(a;\cdot) : \begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & F \\ v & \longmapsto & f'_G(a;v) \end{array} \]7
appartient à $\mathcal L(E,F)$.8
Dans ce cas, $f'_{G}(a;\cdot)$ est la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$.9
10
##### Remarque11
- **Attention**, la Gâteau-différentiabilité de $f$ n'implique, en général, toujours pas la continuité de la fonction $f$!Revision 6374
10/1/2026, 3:02:56 PM · SalixBabylonica
Concept created
##### Définition formelle
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), munis de leurs normes respectives $\|\cdot\|_E$ et $\|\cdot\|_F$.
Soit $D\subset E$ un ouvert, $a\in D$. Soit $f:D\to F$ une application.
On dit que $f$ est *Gâteaux-différentiable* en $a$ si l'application
\[ f'_G(a;\cdot) : \begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & F \\ v & \longmapsto & f'_G(a;v) \end{array} \]
appartient à $\mathcal L(E,F)$.
Dans ce cas, $f'_{G}(a;\cdot)$ est la Gâteau-différentielle de $f$ en $a$.