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##### But 
Soient $I$ un intervalle et $a,b\in\mathcal C(I,\mathbb R)$. On veut résoudre l'équation différentielle
\[ (E): \qquad y'+a(t)y=b(t). \]
##### Résolution 
Soit $A$ une primitive de $a$ sur $I$. On multiplie l'équation $(E)$ par $e^{A(t)}$ :
\[ (E) \iff \bigl(y'+a(t)y\bigr)e^{A(t)} = b(t)e^{A(t)}. \]
Comme
\[ A'(t)=a(t), \]
on obtient
\[ (E) \iff y'e^{A(t)} + A'(t)ye^{A(t)} = b(t)e^{A(t)}. \]
Ainsi,
\[ (E) \iff \frac{d}{dt} \Bigl( y\,e^{A(t)} \Bigr) = b(t)e^{A(t)}. \]
En intégrant, il vient
\[ (E) \iff \exists \lambda\in\mathbb R, \quad \forall t\in I, \quad y(t)e^{A(t)} = B(t) + \lambda, \]
où $B$ est une primitive de $be^{A}$.
Par conséquent,
\[ (E) \iff \exists \lambda\in\mathbb R, \quad \forall t\in I, \quad y(t) = e^{-A(t)} \left( B(t) + \lambda \right). \]
##### Résumé des solutions
Une solution particulière de $(E)$ est donnée par
\[ y_p(t)=e^{-A(t)}B(t), \]
où $B$ est une primitive de $be^{A}$. 
L'ensemble des solutions de $(E)$ est alors
\[ S(H) = \{ y = y_p + \lambda e^{-A(t)}, \qquad \lambda\in\mathbb R \}. \]
Autrement dit, toute solution de $(E)$ est la somme d'une solution particulière de $(E)$ et d'une solution de [[Equations différentielles linéaires homogènes d'ordre 1 | l'équation homogène]] associée
\[ (H): \qquad y'+a(t)y=0. \]
##### En pratique 
Il y a deux manières princpales pour résoudre $(H)$:
- On peut résoudre de la même manière que dans la partie **Résolution**, c'est-à-dire, on commence par la mettre sous la forme
\[ (E): \qquad y'+a(t)y=b(t). \]
Soit $A$ une primitive de $a$. On multiplie alors l'équation par
\[ e^{A(t)}, \]
afin de faire apparaître une dérivée :
\[ \bigl(y'+a(t)y\bigr)e^{A(t)} = \frac{d}{dt}\Bigl(y\,e^{A(t)}\Bigr). \]
et il suffit d'intégrer pour déterminer les solutions.

- On peut trouver une solution particulière $y_{p}$ qui est solution de l'équation $(E)$.
On peut ensuite résoudre [[Equations différentielles linéaires homogènes d'ordre 1 | l'équation différentielle homogène associée ]] à $(H)$ qui est :
\[ (H): \qquad y'+a(t)y=0. \]

Finalement, les solutons de $(H)$ sont les
\[ y = y_p + \lambda e^{-A(t)}, \qquad \lambda\in\mathbb R. \]