Equations différentielles linéaire d’ordre 1

But

Soient $I$ un intervalle et $a,b\in\mathcal C(I,\mathbb R)$. On veut résoudre l’équation différentielle
$$(E): \qquad y'+a(t)y=b(t).$$

Résolution

Soit $A$ une primitive de $a$ sur $I$. On multiplie l’équation $(E)$ par $e^{A(t)}$ :
$$(E) \iff \bigl(y'+a(t)y\bigr)e^{A(t)} = b(t)e^{A(t)}.$$Comme
$$A'(t)=a(t),$$on obtient
$$(E) \iff y'e^{A(t)} + A'(t)ye^{A(t)} = b(t)e^{A(t)}.$$Ainsi,
$$(E) \iff \frac{d}{dt} \Bigl( y\,e^{A(t)} \Bigr) = b(t)e^{A(t)}.$$En intégrant, il vient
$$(E) \iff \exists \lambda\in\mathbb R, \quad \forall t\in I, \quad y(t)e^{A(t)} = B(t) + \lambda,$$où $B$ est une primitive de $be^{A}$.
Par conséquent,
$$(E) \iff \exists \lambda\in\mathbb R, \quad \forall t\in I, \quad y(t) = e^{-A(t)} \left( B(t) + \lambda \right).$$

Résumé des solutions

Une solution particulière de $(E)$ est donnée par
$$y_p(t)=e^{-A(t)}B(t),$$où $B$ est une primitive de $be^{A}$.
L’ensemble des solutions de $(E)$ est alors
$$S(H) = \{ y = y_p + \lambda e^{-A(t)}, \qquad \lambda\in\mathbb R \}.$$Autrement dit, toute solution de $(E)$ est la somme d’une solution particulière de $(E)$ et d’une solution de l’équation homogène associée
$$(H): \qquad y'+a(t)y=0.$$

En pratique

Il y a deux manières princpales pour résoudre $(H)$:

• On peut résoudre de la même manière que dans la partie Résolution, c’est-à-dire, on commence par la mettre sous la forme
  $$(E): \qquad y'+a(t)y=b(t).$$Soit $A$ une primitive de $a$. On multiplie alors l’équation par
  $$e^{A(t)},$$afin de faire apparaître une dérivée :
  $$\bigl(y'+a(t)y\bigr)e^{A(t)} = \frac{d}{dt}\Bigl(y\,e^{A(t)}\Bigr).$$et il suffit d’intégrer pour déterminer les solutions.

• On peut trouver une solution particulière $y_{p}$ qui est solution de l’équation $(E)$.
  On peut ensuite résoudre l’équation différentielle homogène associée à $(H)$ qui est :
  $$(H): \qquad y'+a(t)y=0.$$

Finalement, les solutons de $(H)$ sont les
$$y = y_p + \lambda e^{-A(t)}, \qquad \lambda\in\mathbb R.$$