Equations différentielles linéaires homogènes d’ordre 1

But

Soit $I$ un intervalle et $a\in\mathcal C(I,\mathbb R)$. On veut résoudre l’équation
$$y'+a(t)y=0 \qquad (H)$$c’est-à-dire déterminer toutes les fonctions $y$ dérivables sur $I$ telles que
$$\forall t\in I, \qquad y'(t)+a(t)y(t)=0.$$

Résolution de l’équation différentielle

Soit $A$ une primitive de $a$ sur $I$. On multiplie l’équation $(H)$ par $e^{A(t)}$ :
$$(H) \iff \bigl(y'+a(t)y\bigr)e^{A(t)}=0.$$Or
$$A'(t)=a(t),$$donc
$$(H) \iff y'e^{A(t)} + yA'(t)e^{A(t)} =0.$$Ainsi,
$$(H) \iff \frac{d}{dt}\Bigl(y\,e^{A(t)}\Bigr)=0.$$On en déduit que
$$\exists \lambda\in\mathbb R, \qquad \forall t\in I, \qquad y(t)e^{A(t)}=\lambda.$$

Résumé des solutions

Les solutions de $(H)$ sont les fonctions
$$t\longmapsto \lambda e^{-A(t)}, \qquad \lambda\in\mathbb R.$$Autrement dit,
$$\mathcal S(H) = \left\{ t\mapsto \lambda e^{-A(t)} \; ;\; \lambda\in\mathbb R \right\}.$$(On a une infinité de solutions, chacune étant déterminée par le choix de la constante $\lambda$.)