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##### Définition intuitive

L'espace de Cantor est un espace topologique qui intervient régulièrement en mathématiques tel qu'en théorie de la mesure, en analyse et en théorie des probabilités. Il s'agit de l'ensemble des suites de $0$ et de $1$. Sa topologie est définie par l'idée suivante : deux suites de $0$ et de $1$ sont proches si elles coïncident sur un ensemble fini d'entiers ; plus cet ensemble est grand, plus elles sont proches.

En théorie des probabilités, cet espace modélise de façon idéale les expériences de pile ou face avec un nombre arbitrairement grand de tirage. En théorie descriptive des ensembles, cet espace sert d'outil de codage de certains objets.

##### Définition formelle

Dans ce qui suit, on note $2$ l'ensemble $\lbrace 0,1\rbrace$ et $\omega$ l'ensemble des entiers naturels (notations ensemblistes classiques). On appelle $\textbf{espace de Cantor}$ l'[[espace-topologique|espace topologique]] $2^{\omega}$ des suites de $0$ et de $1$ munit de la [[Topologie produit|topologie produit]].

On note $2^{<\omega}$ l'ensemble des suites finies d'entiers. Si $s \in 2^{<\omega}$, on note $l(s)$ (la "longueur" de $s$) le cardinal de son ensemble de définition. On définit  aussi l'ensemble

$$N_{s} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lbrace \alpha \mid (\forall_{n})(n < l(s) \Rightarrow \alpha(n) = s(n))\rbrace,$$

qui est clairement un ouvert de $2^{\omega}$. On constate même que les ensembles $N_{s}$ engendrent la topologie de $2^{\omega}$, et comme $2^{<\omega}$ est dénombrable, on conclut que $2^{\omega}$ est un espace à [[espace-a-base-denombrable|base dénombrable]] d'ouverts. Si $\alpha \in 2^{\omega}$, et $n$ un entier naturel, on note $\alpha_{|n}$ la suite finie de longueur $n+1$ qui vaut $\alpha(i)$ pour tout $i \leq n$. On déduit que les ensembles $(N_{\alpha_{|n}})_{n < \omega}$ forment une [[Base de voisinages|base de voisinages]] (dénombrable) de $\alpha$.

On constate aussi qu'une suite $(x_n)_{n < \omega}$ d'éléments de $2^{\omega}$ converge vers une limite $x$ si et seulement si pour tout $k < \omega$, $x_{n}(k)$ tend vers $x(k)$ quand $n$ tend vers l'infini (c'est la convergence simple de suites).

##### Propriétés

- L'espace de Cantor est un espace [[compact|compact]] [[espace-metrisable|métrisable]].
:::fold Preuve
Si $\alpha$, $\beta$ sont deux éléments de l'espace de Cantor, la quantité $\tilde{d}(\alpha,\beta) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sum_{n \geq 0}2^{-n}\lvert \alpha(n)-\beta(n)\rvert$ définit une métrique sur $2^{\omega}$ qui engendre la topologie produit. En effet, il est clair que $\tilde{d}$ est une métrique sur $2^{\omega}$. Montrons qu'elle engendre la topologie produit.

- Si $s \in 2^{<\omega}$, et $\alpha \in N_{s}$, pour tout $\beta \in 2^{\omega}$, si $\beta \notin N_{s}$, il existe $i < l(s)$ tel que $\alpha(i) \neq \beta(i)$. Par conséquent, $\tilde{d}(\alpha,\beta) \geq 2^{-i} \geq 2^{-l(s)}$. Par contraposée, si $\tilde{d}(\alpha,\beta) < 2^{-l(s)}$, $\beta \in N_{s}$. Ainsi les sous-ensembles $N_{s}$ sont des $\tilde{d}$-ouverts.

- Si $\alpha \in 2^{\omega}$ et $\varepsilon > 0$, et si $\beta \in 2^{\omega}$ est tel que $\tilde{d}(\alpha,\beta) < \varepsilon$, soit $N$ un entier naturel tel que $\sum_{n \geq N}2^{-n} < \varepsilon$. Si $\beta \in N_{\alpha_{|N}}$, alors $\tilde{d}(\alpha,\beta) \leq \sum_{n \geq N}2^{-n} < \varepsilon$, d'où que la boule de centre $\alpha$ et de rayon $\varepsilon$ est un ouvert pour la topologie produit.

On conclut à la métrisabilité de $2^{\omega}$. Montrons maintenant qu'il est compact. On pourrait utiliser le Théorème de Tychonoff, qui énonce que tout produit d'espace compact est compact pour la topologie produit. Ici, nous allons utiliser les extraction de sous-suites par un argument diagonal.

Soit $(x_{n})_{n}$ une suite d'élément de $2^{\omega}$. On note $p_{i}$ la $i$-ième projection d'un élément de $2^{\omega}$. Pour chaque $i < \omega$, $(p_{i}(x_{n}))_{n < \omega}$ est une suite de $2$, et admet donc une sous-suite convergente (même stationnaire). On commence par $(p_{1}(x_{n}))_{n < \omega}$, et on note $\phi_{1}$ une extractrice qui rend cette suite stationnaire. Pour la suite $(p_{2}(x_{\phi_{1}(n)}))_{n < \omega}$, on note $\phi_{2}$ une extractrice qui rend cette suite stationnaire. Pour la suite $(p_{3}(x_{(\phi_{2} \circ \phi_{1})(n)}))_{n < \omega}$, on note $\phi_{3}$ une extractrice qui rend cette suite stationnaire.

Plus généralement, étant donné $\phi_{1}$, $\phi_{2}$, ... , $\phi_{k}$ des extractrices telles que pour tout $i \leq k$, 
$$
(p_{i}(x_{\phi_{k} \circ \, ... \, \circ\,\phi_{1}(n)}))_{n < \omega}
$$

est stationnaire, on construit $\phi_{n+1}$ telle que pour tout $i \leq k+1$,
$$
(p_{i}(x_{\phi_{k+1} \circ \, ... \, \circ\,\phi_{1}(n)}))_{n < \omega}
$$

est aussi stationnaire, et pour tout $i \leq k$,
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}p_{i}(x_{\phi_{k+1} \circ \, ... \, \circ\,\phi_{1}(n)}) = \lim_{n \rightarrow \infty}p_{i}(x_{\phi_{k} \circ \, ... \, \circ\,\phi_{1}(n)}) \,\,\,\color{red}{(*)}$$

(en effet si une suite converge, toute sous-suite converge vers la limite de suite dont elle est extraite). Ici, il y a une subtilité (inévitable), qui est l'usage de l'[[Axiome du choix dépendant|axiome du choix dépendant]]. Grâce à cet axiome (qui figure aux fondements des mathématiques), l'on peut dire qu'il existe une suite infinie d'extractrices $(\phi_{j})_{j < \omega}$ telle que pour tout $k \geq 1$ et tout $i \leq k$, $(p_{i}(x_{\phi_{k} \circ \, ... \, \circ\,\phi_{1}(n)}))_{n < \omega}$ soit stationnaire et tel que la condition $\color{red}{(*)}$ soit satisfaite. Si c'est le cas, on extrait de cette suite d'extractrices une nouvelle extractrice $\psi$ (dite diagonale), en posant $\psi(n) = \phi_{n} \circ\,...\,\circ\,\phi_{1}(n)$. On voit bien que la suite $(x_{\psi(n)})_{n < \omega}$ est convergente puisque si $i < \omega$, $p_{i}(x_{\psi(n)})$ devient constante dés lors que $n \geq i$ et que $n \geq N$ où $N$ est un rang à partir duquel $(x_{\phi_{i} \circ \,...\,\circ\,\phi_{1}(n)})_{n<\omega}$ est constante (en effet $\psi(n) \geq n$ pour tout $n$ puisque $\psi$ est strictement croissante). On déduit alors l'existence d'une sous-suite convergente de $(x_{n})_{n}$, d'où que $2^{\omega}$ est compact.
:::

- L'espace de Cantor est [[Espace zéro-dimensionnel|zéro-dimensionnel]].

:::fold Preuve

On sait que la famille des $N_{s}$ (pour $s \in 2^{<\omega}$) est une base d'ouverts de $2^{\omega}$. En revanche, comme $N_{s} = \bigcap_{n < l(s)} p_{n}^{-1}(\lbrace s(n)\rbrace)$, par continuité des projections $p_{i}$, on déduit que $N_{s}$ est aussi un fermé, d'où le résultat.

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- L'espace de Cantor est [[espace-parfait|parfait]].

:::fold Preuve

Il a été mentionné que si $\alpha \in 2^{\omega}$, la famille $(N_{\alpha_{|n}})_{n < \omega}$ forme une base de voisinages de $\alpha$. Il suffit alors de montrer qu'aucun de ces voisinages n'est trivial. Mais c'est pourtant bien le cas puisque la suite qui coïncide avec $\alpha$ sur les entiers plus petits que $n$ et qui diffère de $\alpha$ sur le $n+1$-ième est dans $N_{\alpha_{|n}}$, mais distincte de $\alpha$. Ainsi, $2^{\omega}$ est parfait.

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Ce qui est surprenant, c'est que la conjonction des propriétés précédentes caractérise en fait l'espace de Cantor. C'est là l'objet du [[Théorème de Brouwer|théorème de Brouwer]].