Espace de Cantor

Si $\alpha$, $\beta$ sont deux éléments de l’espace de Cantor, la quantité $\tilde{d}(\alpha,\beta) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sum_{n \geq 0}2^{-n}\lvert \alpha(n)-\beta(n)\rvert$ définit une métrique sur $2^{\omega}$ qui engendre la topologie produit. En effet, il est clair que $\tilde{d}$ est une métrique sur $2^{\omega}$. Montrons qu’elle engendre la topologie produit.

• Si $s \in 2^{<\omega}$, et $\alpha \in N_{s}$, pour tout $\beta \in 2^{\omega}$, si $\beta \notin N_{s}$, il existe $i < l(s)$ tel que $\alpha(i) \neq \beta(i)$. Par conséquent, $\tilde{d}(\alpha,\beta) \geq 2^{-i} \geq 2^{-l(s)}$. Par contraposée, si $\tilde{d}(\alpha,\beta) < 2^{-l(s)}$, $\beta \in N_{s}$. Ainsi les sous-ensembles $N_{s}$ sont des $\tilde{d}$-ouverts.

• Si $\alpha \in 2^{\omega}$ et $\varepsilon > 0$, et si $\beta \in 2^{\omega}$ est tel que $\tilde{d}(\alpha,\beta) < \varepsilon$, soit $N$ un entier naturel tel que $\sum_{n \geq N}2^{-n} < \varepsilon$. Si $\beta \in N_{\alpha_{|N}}$, alors $\tilde{d}(\alpha,\beta) \leq \sum_{n \geq N}2^{-n} < \varepsilon$, d’où que la boule de centre $\alpha$ et de rayon $\varepsilon$ est un ouvert pour la topologie produit.

On conclut à la métrisabilité de $2^{\omega}$. Montrons maintenant qu’il est compact. On pourrait utiliser le Théorème de Tychonoff, qui énonce que tout produit d’espace compact est compact pour la topologie produit. Ici, nous allons utiliser les extraction de sous-suites par un argument diagonal.

Soit $(x_{n})_{n}$ une suite d’élément de $2^{\omega}$. On note $p_{i}$ la $i$-ième projection d’un élément de $2^{\omega}$. Pour chaque $i < \omega$, $(p_{i}(x_{n}))_{n < \omega}$ est une suite de $2$, et admet donc une sous-suite convergente (même stationnaire). On commence par $(p_{1}(x_{n}))_{n < \omega}$, et on note $\phi_{1}$ une extractrice qui rend cette suite stationnaire. Pour la suite $(p_{2}(x_{\phi_{1}(n)}))_{n < \omega}$, on note $\phi_{2}$ une extractrice qui rend cette suite stationnaire. Pour la suite $(p_{3}(x_{(\phi_{2} \circ \phi_{1})(n)}))_{n < \omega}$, on note $\phi_{3}$ une extractrice qui rend cette suite stationnaire.

Plus généralement, étant donné $\phi_{1}$, $\phi_{2}$, ... , $\phi_{k}$ des extractrices telles que pour tout $i \leq k$,
$$(p_{i}(x_{\phi_{k} \circ \, ... \, \circ\,\phi_{1}(n)}))_{n < \omega}$$

est stationnaire, on construit $\phi_{n+1}$ telle que pour tout $i \leq k+1$,
$$(p_{i}(x_{\phi_{k+1} \circ \, ... \, \circ\,\phi_{1}(n)}))_{n < \omega}$$

est aussi stationnaire, et pour tout $i \leq k$,
$$\lim_{n \rightarrow \infty}p_{i}(x_{\phi_{k+1} \circ \, ... \, \circ\,\phi_{1}(n)}) = \lim_{n \rightarrow \infty}p_{i}(x_{\phi_{k} \circ \, ... \, \circ\,\phi_{1}(n)}) \,\,\,\color{red}{(*)}$$

(en effet si une suite converge, toute sous-suite converge vers la limite de suite dont elle est extraite). Ici, il y a une subtilité (inévitable), qui est l’usage de l'axiome du choix dépendant. Grâce à cet axiome (qui figure aux fondements des mathématiques), l’on peut dire qu’il existe une suite infinie d’extractrices $(\phi_{j})_{j < \omega}$ telle que pour tout $k \geq 1$ et tout $i \leq k$, $(p_{i}(x_{\phi_{k} \circ \, ... \, \circ\,\phi_{1}(n)}))_{n < \omega}$ soit stationnaire et tel que la condition $\color{red}{(*)}$ soit satisfaite. Si c’est le cas, on extrait de cette suite d’extractrices une nouvelle extractrice $\psi$ (dite diagonale), en posant $\psi(n) = \phi_{n} \circ\,...\,\circ\,\phi_{1}(n)$. On voit bien que la suite $(x_{\psi(n)})_{n < \omega}$ est convergente puisque si $i < \omega$, $p_{i}(x_{\psi(n)})$ devient constante dés lors que $n \geq i$ et que $n \geq N$ où $N$ est un rang à partir duquel $(x_{\phi_{i} \circ \,...\,\circ\,\phi_{1}(n)})_{n<\omega}$ est constante (en effet $\psi(n) \geq n$ pour tout $n$ puisque $\psi$ est strictement croissante). On déduit alors l’existence d’une sous-suite convergente de $(x_{n})_{n}$, d’où que $2^{\omega}$ est compact.

On sait que la famille des $N_{s}$ (pour $s \in 2^{<\omega}$) est une base d’ouverts de $2^{\omega}$. En revanche, comme $N_{s} = \bigcap_{n < l(s)} p_{n}^{-1}(\lbrace s(n)\rbrace)$, par continuité des projections $p_{i}$, on déduit que $N_{s}$ est aussi un fermé, d’où le résultat.

Il a été mentionné que si $\alpha \in 2^{\omega}$, la famille $(N_{\alpha_{|n}})_{n < \omega}$ forme une base de voisinages de $\alpha$. Il suffit alors de montrer qu’aucun de ces voisinages n’est trivial. Mais c’est pourtant bien le cas puisque la suite qui coïncide avec $\alpha$ sur les entiers plus petits que $n$ et qui diffère de $\alpha$ sur le $n+1$-ième est dans $N_{\alpha_{|n}}$, mais distincte de $\alpha$. Ainsi, $2^{\omega}$ est parfait.