Base de voisinages

Définition formelle

Soit $X$ un espace topologique. Soit $x$ un point de $X$. On appelle $\textbf{base de voisinages de }x$ tout ensemble $S$ de voisinages de $x$, tel que pour voisinage $V$ de $x$, il existe un voisinage $W \in S$ tel que $W \subset V$.

Exemples

• Dans les espace $\mathbb{R}^{n}$, les boules fermées de rayons arbitraires centrées en $x$ forment une base de voisinages de $x$. On déduit qu’un point $x \in \mathbb{R}^{n}$ admet une base de voisinages compacts. Un tel espace est dit localement compact.
• L’ensemble des voisinages d’un point $x$ est (trivialement) une base de voisinages de $x$.