Espace parfait

Définition formelle

Soit $X$ un espace topologique. On dit que $X$ est parfait si aucun point de $x$ n’est isolé.

Ceci revient à dire que pour tout $x \in X$, $x$ est un point d’accumulation de $X$, autrement dit que tout voisinage de $x$ contient un point $y \neq x$.

Exemples

• La droite réelle $\mathbb{R}$ et la droite rationnelle $\mathbb{Q}$ sont parfaits.
• Tout espace vectoriel normé est parfait.
• L’espace $[0,1] \sqcup \lbrace 2 \rbrace$ munit de la topologie induite par $\mathbb{R}$ n’est pas parfait.