Topologie induite

Définition intuitive

La topologie trace est une topologie naturelle que l’on peut mettre sur un sous-ensemble d’un espace topologique donné.

Définition formelle

Soit $(X,\tau)$ un espace topologique. Soit $A$ un sous-ensemble de $X$. On appelle $\textbf{topologie trace}$ de $X$ sur $A$ la topologie sur $A$ qu’on définit par $\tau_{|A} \stackrel{\mathrm{def}}{=}\lbrace U \cap A \mid U \in \tau\rbrace$.

Propriétés

• Si $X$ est métrisable et que $d$ est une métrique sur $X$, la topologie trace de $X$ sur $A$ est la topologie de la métrique $d_{|A\times A}$.
• Si $A$ est un ouvert de $X$, on a linclusion $\tau_{|A} \subset \tau$.
• Les fermés de $\tau_{|A}$ sont exactement les sous-ensembles de la forme $F \cap A$ où $F$ est un fermé de $X$.