Topologie induite
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Revision 7218
10/14/2026, 7:33:44 PM · Ancient Tree
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linked exercisesNoneUn exemple de topologie induite
Revision 7216
10/14/2026, 7:31:33 PM · Ancient Tree
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##### Définition intuitive2
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La topologie trace est une topologie naturelle que l'on peut mettre sur un sous-ensemble d'un espace topologique donné.3
La topologie induite est une topologie naturelle que l'on peut mettre sur un sous-ensemble d'un espace topologique donné.4
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##### Définition formelle6
7
Soit $(X,\tau)$ un [[espace-topologique|espace topologique]]. Soit $A$ un [[sous-ensemble|sous-ensemble]] de $X$. On appelle $\textbf{topologie trace}$ de $X$ sur $A$ la topologie sur $A$ qu'on définit par $\tau_{|A} \stackrel{\mathrm{def}}{=}\lbrace U \cap A \mid U \in \tau\rbrace$.7
Soit $(X,\tau)$ un [[espace-topologique|espace topologique]]. Soit $A$ un [[sous-ensemble|sous-ensemble]] de $X$. On appelle $\textbf{topologie induite}$ de $X$ sur $A$ la topologie sur $A$ qu'on définit par $\tau_{|A} \stackrel{\mathrm{def}}{=}\lbrace U \cap A \mid U \in \tau\rbrace$.8
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##### Propriétés10
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- Si $X$ est [[Espace métrisable|métrisable]] et que $d$ est une [[espace-metrique|métrique]] sur $X$, la topologie trace de $X$ sur $A$ est la topologie de la métrique $d_{|A\times A}$.11
- Si $X$ est [[Espace métrisable|métrisable]] et que $d$ est une [[espace-metrique|métrique]] sur $X$, la topologie induite de $X$ sur $A$ est la topologie de la métrique $d_{|A\times A}$.12
- Si $A$ est un ouvert de $X$, on a linclusion $\tau_{|A} \subset \tau$.12
- Si $A$ est un ouvert de $X$, on a l'inclusion $\tau_{|A} \subset \tau$.13
- Les fermés de $\tau_{|A}$ sont exactement les sous-ensembles de la forme $F \cap A$ où $F$ est un fermé de $X$.2 unchanged lines hidden
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La topologie trace est une topologie naturelle que l'on peut mettre sur un sou…3
La topologie induite est une topologie naturelle que l'on peut mettre sur un sou…3 unchanged lines hidden
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…emble|sous-ensemble]] de $X$. On appelle $\textbf{topologie trace}$ de $X$ sur $A$ la topologie sur $A$ qu'on définit par $\t…7
…emble|sous-ensemble]] de $X$. On appelle $\textbf{topologie induite}$ de $X$ sur $A$ la topologie sur $A$ qu'on définit par $\t…3 unchanged lines hidden
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…est une [[espace-metrique|métrique]] sur $X$, la topologie trace de $X$ sur $A$ est la topologie de la métrique $d_{|A\times…11
…est une [[espace-metrique|métrique]] sur $X$, la topologie induite de $X$ sur $A$ est la topologie de la métrique $d_{|A\times…12
- Si $A$ est un ouvert de $X$, on a linclusion $\tau_{|A} \subset \tau$.12
- Si $A$ est un ouvert de $X$, on a l'inclusion $\tau_{|A} \subset \tau$.1 unchanged line hidden
Revision 5061
9/15/2026, 7:11:24 PM · La chouette aveugle
Concept created
##### Définition intuitive
La topologie trace est une topologie naturelle que l'on peut mettre sur un sous-ensemble d'un espace topologique donné.
##### Définition formelle
Soit $(X,\tau)$ un [[espace-topologique|espace topologique]]. Soit $A$ un [[sous-ensemble|sous-ensemble]] de $X$. On appelle $\textbf{topologie trace}$ de $X$ sur $A$ la topologie sur $A$ qu'on définit par $\tau_{|A} \stackrel{\mathrm{def}}{=}\lbrace U \cap A \mid U \in \tau\rbrace$.
##### Propriétés
- Si $X$ est [[Espace métrisable|métrisable]] et que $d$ est une [[espace-metrique|métrique]] sur $X$, la topologie trace de $X$ sur $A$ est la topologie de la métrique $d_{|A\times A}$.
- Si $A$ est un ouvert de $X$, on a linclusion $\tau_{|A} \subset \tau$.
- Les fermés de $\tau_{|A}$ sont exactement les sous-ensembles de la forme $F \cap A$ où $F$ est un fermé de $X$.