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##### Définition intuitive

La topologie trace est une topologie naturelle que l'on peut mettre sur un sous-ensemble d'un espace topologique donné.

##### Définition formelle

Soit $(X,\tau)$ un [[espace-topologique|espace topologique]]. Soit $A$ un [[sous-ensemble|sous-ensemble]] de $X$. On appelle $\textbf{topologie trace}$ de $X$ sur $A$ la topologie sur $A$ qu'on définit par $\tau_{|A} \stackrel{\mathrm{def}}{=}\lbrace U \cap A \mid U \in \tau\rbrace$.

##### Propriétés

- Si $X$ est [[Espace métrisable|métrisable]] et que $d$ est une [[espace-metrique|métrique]] sur $X$,  la topologie trace de $X$ sur $A$ est la topologie de la métrique $d_{|A\times A}$.
- Si $A$ est un ouvert de $X$, on a linclusion $\tau_{|A} \subset \tau$.
- Les fermés de $\tau_{|A}$ sont exactement les sous-ensembles de la forme $F \cap A$ où $F$ est un fermé de $X$.