Espace métrisable

Définition intuitive

Les espaces métrisables figurent parmi les espaces usuels de la géométrie ou de l’analyse, il est donc pertinent de leur consacrer une définition. Un espace métrisable est un espace topologique où les ouverts sont décrits par une « métrique », c’est-à-dire une fonction qui à deux points leur associe une distance. Ceci permet de donner une « comensurabilité » aux ouverts.

Les espaces métrisables ont des propriétés de séparation utiles. De plus, l’étude de la continuité, des limites et des adhérences passent par l’étude des suites convergentes pour une métrique sur l’espace, ce qui accroit leur « maniabilité »

La différence entre un espace métrisable et un espace métrique réside dans leur usage. La donnée d’une métrique qui induit la topologie d’un espace métrisable n’est ici considérée que pour faire des hypothèses « qualitatives » sur la topologie de l’espace, l’aspect « quantitatif » (c’est-à-dire les valeurs d’une telle métrique) n’est pas l’objet de l’étude, et on peut donc se passer de la « fixer ». Ainsi, un espace métrisable est un couple $(X,\tau)$ où $\tau$ est une topologie induite par une métrique, alors qu’un espace métrique est un couple $(X,d)$ où $d$ est une métrique.

Définition formelle

Soit $(X,\tau)$ un espace topologique. On dit que $(X,\tau)$ est métrisable s’il existe une métrique $d$ sur $X$ telle que $\tau$ est la topologie induite par $d$. On dit alors que $d$ est une métrique compatible sur $(X,\tau)$.

Ceci revient à dire que $(X,\tau)$ est homéomorphe à un espace métrique.

Propriétés

• Un espace métrisable partage toutes les propriétés topologiques d’un espace métrique (telle que la séparation, par exemple).
• Le fait que la métrique n’intervienne pas de façon quantitive permet de supposer qu’une métrique compatible sur $(X,\tau)$ est bornée par $1$ (voir exercice).
• Le théorème d’Urysohn énonce qu’un espace topologique séparé et régulier à base dénombrable est métrisable.

Exemples

• Tout espace métrique est, topologiquement, un espace métrisable.