Relations d'équivalence maigres

Soit $P$ un espace polonais parfait. Soit $R$ une relation d’équivalence sur $P$ . On dit que $R$ est $\textbf{maigre}$ si son graphe $R \subset P^{2}$ est une partie maigre de $P^{2}$ . Montrer que :

$R$ est maigre si et seulement si toute $R$ -classe d’équivalence est maigre dans $P$ ,
Il existe une injection continue $\iota : 2^{\omega} \longrightarrow P$ telle que pour tout $\alpha \neq \beta$ , $(\iota(\alpha),\iota(\beta)) \notin R$ . En déduire le cardinal de $P/R$ .

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Solution by La chouette aveugle

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Montrons le premier point. Supposons que toute $R$ -classe d’équivalence est maigre. Puisque (en utilisant les notations du théorème de Kuratowski-Ulam) pour tout $x \in P$ , $\overline{x}^{R} = R_{x}$ , on déduit que toute section verticale de $R$ est maigre, d’où que (par le théorème de Kuratowski-Ulam) $R$ est maigre. Réciproquement si $R$ est maigre, le théorème de Kuratowski-Ulam énonce que $\Omega \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lbrace x \mid R_{x} = \overline{x}^{R}\text{ est maigre dans P}\rbrace$ est comaigre. S’il existe $y \in P$ tel que $\overline{y}^{R}$ n’est pas maigre, $\overline{y}^{R} \cap \Omega \neq \emptyset$ , ce qui est absurde puisqu’alors $\overline{y}^{R}$ serait maigre.

Pour le second point, on applique le théorème de Mycielski à $C := P^{2}\setminus R$ . On déduit que $\lvert P/R \rvert \geq 2^{\aleph_{0}}$ , et comme $\lvert E/R \rvert \leq \lvert P \rvert \leq 2^{\aleph_{0}}$ (puisqu’en effet $P$ est homéomorphe à un espace métrique séparable, son cardinal est plus petite que celui de $\mathbb{R}$ ), on déduit que $\lvert E/R \rvert = 2^{\aleph_{0}}$ .

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