Relations d’équivalence maigres

Montrons le premier point. Supposons que toute $R$-classe d’équivalence est maigre. Puisque (en utilisant les notations du théorème de Kuratowski-Ulam) pour tout $x \in P$, $\overline{x}^{R} = R_{x}$, on déduit que toute section verticale de $R$ est maigre, d’où que (par le théorème de Kuratowski-Ulam) $R$ est maigre. Réciproquement si $R$ est maigre, le théorème de Kuratowski-Ulam énonce que $\Omega \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lbrace x \mid R_{x} = \overline{x}^{R}\text{ est maigre dans P}\rbrace$ est comaigre. S’il existe $y \in P$ tel que $\overline{y}^{R}$ n’est pas maigre, $\overline{y}^{R} \cap \Omega \neq \emptyset$, ce qui est absurde puisqu’alors $\overline{y}^{R}$ serait maigre.

Pour le second point, montrons un fait général : si $P$ est un espace polonais parfait, et $C$ une partie comaigre de $P^{2}$, il existe une injection continue $\iota : 2^{\omega} \longrightarrow P$ telle que pour tous $\alpha \neq \beta$, $(\iota(\alpha),\iota(\beta)) \in C$. Soit $(O_n)_n$ une suite d’ouverts denses de $P$ tels que $\bigcap_n O_n \subset C$. Pour montrer ce fait, on construit un schéma de Cantor convergent $(F_s)_{s}$ qui satsifait les propriétés supplémentaires :

$(i)$ pour tout $s \in 2^{<\omega}$, $F_{s}$ est un ouvert non vide de $P$,
$(ii)$ pour tout entier naturel $n$ et pour tout $s,l \in 2^{<\omega}$ de longueur $n$ et tels que $s \leq l$ (pour l’ordre lexicographique), $F_{s} \times F_{l} \subset \bigcap_{k\leq n} O_{k}$.

On pose $F_{\emptyset} = O_{0}$. Supposons le schéma construit jusqu’aux suites finies $s$ de longueur $n$. Soit $(s_{i})_{i}$ une énumération (finie) des suites longueurs $n+1$. Soit $x,y$ deux poins distincts de $F_{s_{0}}$ (on peut les choisir ainsi puisque $P$ est parfait). Soit $U_{x}$ et $U_{y}$ des vosinages de $x$ et de $y$ (respectivement) disjoints. Comme $\bigcap_{k \leq n+1}O_{k}$ est dense dans $P^2$, $U_{x} \times U_{y} \cap \bigcap_{k \leq n+1}O_{k} \neq \emptyset$. On choisit alors $(x',y')$ dans cette intersection, ainsi que $U_{x'}$ et $U_{y'}$ des voisinages (respectifs) de $x'$ et de $y'$, disjoints, tels que $U_{x'} \times U_{y'} \subset U_{x} \times U_{y} \cap \bigcap_{k \leq n+1}O_{k} \subset \bigcap_{k \leq n+1}O_{k}$. On choisit les diamètres de $U_{x'}$ et $U_{y'}$ assez petits pour respecter la convergence du schéma que l’on construit. On pose donc $F_{s_{0} \frown 0} \stackrel{\mathrm{def}}{=} U_{x'}$ et $F_{s_{0}\frown 1} \stackrel{\mathrm{def}}{=} U_{y'}$.

Soit ensuite $z,w \in F_{s_{1}}$ tous deux ditincts. En recommençant le procédé précédent avec la paire $(x',z)$ (au lieu de $(x,y)$), puis à nouveau avec $(y',z)$, $(x',w)$, $(y',w)$ et enfin$(z,w)$, on construit $F_{s_{1} \frown 0}$ et $F_{s_{1}\frown 1}$ tels que $(i)$ et $(ii)$ soient respectés. On continue ainsi avec $s_{2}$, $s_{3}$ et ainsi de suite. Puisque ce procédé est fini, les sous-ensembles obtenus à la fin seront toujours ouverts, et le schéma est construit.

Soit $\iota$ l’injection associée au schéma. On constate bien que pour tout $\alpha \neq \beta$, $(\iota(\alpha),\iota(\beta)) \in C$ grâce à $(ii)$. Il ne reste plus qu’à appliquer ce que l’on vient de démontrer à $C = P^{2} \setminus R$. On déduit que $\lvert P/R \rvert \geq 2^{\aleph_{0}}$, et comme $\lvert E/R \rvert \leq \lvert P \rvert \leq 2^{\aleph_{0}}$ (puisqu’en effet $P$ est homéomorphe à un espace métrique séparable, son cardinal est plus petite que celui de $\mathbb{R}$), on déduit que $\lvert E/R \rvert = 2^{\aleph_{0}}$.