Relations d’équivalence maigres

Montrons le premier point. Supposons que toute $R$-classe d’équivalence est maigre. Puisque (en utilisant les notations du théorème de Kuratowski-Ulam) pour tout $x \in P$, $\overline{x}^{R} = R_{x}$, on déduit que toute section verticale de $R$ est maigre, d’où que (par le théorème de Kuratowski-Ulam) $R$ est maigre. Réciproquement si $R$ est maigre, le théorème de Kuratowski-Ulam énonce que $\Omega \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lbrace x \mid R_{x} = \overline{x}^{R}\text{ est maigre dans P}\rbrace$ est comaigre. S’il existe $y \in P$ tel que $\overline{y}^{R}$ n’est pas maigre, $\overline{y}^{R} \cap \Omega \neq \emptyset$, ce qui est absurde puisqu’alors $\overline{y}^{R}$ serait maigre.

Pour le second point, on applique le théorème de Mycielski à $C := P^{2}\setminus R$. On déduit que $\lvert P/R \rvert \geq 2^{\aleph_{0}}$, et comme $\lvert E/R \rvert \leq \lvert P \rvert \leq 2^{\aleph_{0}}$ (puisqu’en effet $P$ est homéomorphe à un espace métrique séparable, son cardinal est plus petite que celui de $\mathbb{R}$), on déduit que $\lvert E/R \rvert = 2^{\aleph_{0}}$.