Théorème de Mycielski

Soit $(O_n)_n$ une suite d’ouverts denses de $P$ tels que $\bigcap_n O_n \subset C$. Pour montrer ce fait, on construit un schéma de Cantor convergent $(F_s)_{s}$ qui satsifait les propriétés supplémentaires :

$(i)$ pour tout $s \in 2^{<\omega}$, $F_{s}$ est un ouvert non vide de $P$,
$(ii)$ pour tout entier naturel $n$ et pour tout $s,l \in 2^{<\omega}$ de longueur $n$ et tels que $s \leqslant l$ (pour l’ordre lexicographique), $F_{s} \times F_{l} \subset \bigcap_{k\leqslant n} O_{k}$.

On pose $F_{\emptyset} = O_{0}$. Supposons le schéma construit jusqu’aux suites finies $s$ de longueur $n$. Soit $(s_{i})_{i}$ une énumération (finie) des suites longueurs $n+1$. Soit $x,y$ deux poins distincts de $F_{s_{0}}$ (on peut les choisir ainsi puisque $P$ est parfait). Soit $U_{x}$ et $U_{y}$ des vosinages de $x$ et de $y$ (respectivement) disjoints. Comme $\bigcap_{k \leqslant n+1}O_{k}$ est dense dans $P^2$, $U_{x} \times U_{y} \cap \bigcap_{k \leqslant n+1}O_{k} \neq \varnothing$. On choisit alors $(x',y')$ dans cette intersection, ainsi que $U_{x'}$ et $U_{y'}$ des voisinages (respectifs) de $x'$ et de $y'$, disjoints, tels que $U_{x'} \times U_{y'} \subset U_{x} \times U_{y} \cap \bigcap_{k \leqslant n+1}O_{k} \subset \bigcap_{k \leqslant n+1}O_{k}$. On choisit les diamètres de $U_{x'}$ et $U_{y'}$ assez petits pour respecter la convergence du schéma que l’on construit. On pose donc $F_{s_{0} \frown 0} \stackrel{\mathrm{def}}{=} U_{x'}$ et $F_{s_{0}\frown 1} \stackrel{\mathrm{def}}{=} U_{y'}$.

Soit ensuite $z,w \in F_{s_{1}}$ tous deux ditincts. En recommençant le procédé précédent avec la paire $(x',z)$ (au lieu de $(x,y)$), puis à nouveau avec $(y',z)$, $(x',w)$, $(y',w)$ et enfin$(z,w)$, on construit $F_{s_{1} \frown 0}$ et $F_{s_{1}\frown 1}$ tels que $(i)$ et $(ii)$ soient respectés. On continue ainsi avec $s_{2}$, $s_{3}$ et ainsi de suite. Puisque ce procédé est fini, les sous-ensembles obtenus à la fin seront toujours ouverts, et le schéma est construit.

L’injection associée au schéma est une candidate pour $\iota$.