Ivan Shishkin, Birch Grove

Espace euclidien

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Revision 6697

10/5/2026, 9:00:49 PM · quark67

Typographie de la trace et de la transposée corrigées

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1##### Définition intuitive
2
3L'espace euclidien est la formalisation et la généralisation du plan et de l'espace euclidien de la géométrie classique. Cela permet de redéfinir la géométrie classique dans le cadre des mathématiques modernes avec les [[Espaces affines euclidiens|espaces affines euclidiens]].
4
5Dans ce contexte, la structure importante est le produit scalaire entre deux vecteurs noté $\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}$. Grâce à cela, il est possible de définir des distances entre deux points et des angles comme par exemple en dimensions 2 avec le produit scalaire classique : $||\overrightarrow{AB} || = \sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2} + (y_{B}-y_{A})^{2}}$ ainsi que des angles $\theta = \arccos\left(\frac{\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}}{||\overrightarrow{x}||\times||\overrightarrow{y}||}\right)$.
6
7##### Définition formelle
8
9Un espace euclidien est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie muni d'un [[Produit scalaire|produit scalaire]].
10
11##### Exemples
12
13- Les espaces euclidiens formés à partir des espaces vectoriels $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire : $x.y = \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}y_{k}$ pour $x=(x_{1}, ...x_{n})$ et $y=(y_1, ..., y_n)$.
14- Les espaces des matrices $M_{n}(\mathbb{R})$ muni du produit scalaire : $(A|B) = Tr(A^{t}B)$.
14- Les espaces des matrices $M_{n}(\mathbb{R})$ muni du produit scalaire : $(A|B) = \operatorname{Tr}(A^{\mathsf{T}}B)$.
15- Les espaces de polynômes $\mathbb{R}_{n}[X]$ muni du produit scalaire : $(P|Q) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k}b_{k}$ avec $P(X) = \sum\limits_{k=0}^n a_{k}X^{k}$ et $Q(X) = \sum\limits_{k=0}^n a_{k}X^{k}$.

Revision 6566

10/3/2026, 7:54:13 PM · FiniteField

Concept marked usable

statusStubUsable

Revision 6565

10/3/2026, 7:54:07 PM · FiniteField

uniformisation latex des façons de noté $\mathbb{R}$ qui étaient toutes différentes

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1##### Définition intuitive
2
3L'espace euclidien est la formalisation et la généralisation du plan et de l'espace euclidien de la géométrie classique. Cela permet de redéfinir la géométrie classique dans le cadre des mathématiques modernes avec les [[Espaces affines euclidiens|espaces affines euclidiens]].
4
5Dans ce contexte, la structure importante est le produit scalaire entre deux vecteurs noté $\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}$. Grâce à cela, il est possible de définir des distances entre deux points et des angles comme par exemple en dimensions 2 avec le produit scalaire classique : $||\overrightarrow{AB} || = \sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2} + (y_{B}-y_{A})^{2}}$ ainsi que des angles $\theta = \arccos\left(\frac{\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}}{||\overrightarrow{x}||\times||\overrightarrow{y}||}\right)$.
6
7##### Définition formelle
8
9Un espace euclidien est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie muni d'un [[Produit scalaire|produit scalaire]].
10
11##### Exemples
12
13- Les espaces euclidiens formés à partir des espaces vectoriels $R^n$ muni du produit scalaire : $x.y = \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}y_{k}$ pour $x=(x_{1}, ...x_{n})$ et $y=(y_1, ..., y_n)$.
13- Les espaces euclidiens formés à partir des espaces vectoriels $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire : $x.y = \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}y_{k}$ pour $x=(x_{1}, ...x_{n})$ et $y=(y_1, ..., y_n)$.
14- Les espaces des matrices $M_{n}(\mathbf{R})$ muni du produit scalaire : $(A|B) = Tr(A^{t}B)$.
14- Les espaces des matrices $M_{n}(\mathbb{R})$ muni du produit scalaire : $(A|B) = Tr(A^{t}B)$.
15- Les espaces de polynômes $R_{n}[X]$ muni du produit scalaire : $(P|Q) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k}b_{k}$ avec $P(X) = \sum\limits_{k=0}^n a_{k}X^{k}$ et $Q(X) = \sum\limits_{k=0}^n a_{k}X^{k}$.
15- Les espaces de polynômes $\mathbb{R}_{n}[X]$ muni du produit scalaire : $(P|Q) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k}b_{k}$ avec $P(X) = \sum\limits_{k=0}^n a_{k}X^{k}$ et $Q(X) = \sum\limits_{k=0}^n a_{k}X^{k}$.

Revision 6564

10/3/2026, 7:52:40 PM · FiniteField

J'ai simplement précisé qu'il s'agissait d'espaces vectoriels réels. Les espaces vectoriels de dimension finie complexes munis d'un produit scalaire sont les espaces hermitiens.

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1##### Définition intuitive
2
3L'espace euclidien est la formalisation et la généralisation du plan et de l'espace euclidien de la géométrie classique. Cela permet de redéfinir la géométrie classique dans le cadre des mathématiques modernes avec les [[Espaces affines euclidiens|espaces affines euclidiens]].
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5Dans ce contexte, la structure importante est le produit scalaire entre deux vecteurs noté $\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}$. Grâce à cela, il est possible de définir des distances entre deux points et des angles comme par exemple en dimensions 2 avec le produit scalaire classique : $||\overrightarrow{AB} || = \sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2} + (y_{B}-y_{A})^{2}}$ ainsi que des angles $\theta = \arccos\left(\frac{\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}}{||\overrightarrow{x}||\times||\overrightarrow{y}||}\right)$.
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7##### Définition formelle
8
9Un espace euclidien est un espace vectoriel de dimension finie muni d'un [[Produit scalaire|produit scalaire]].
9Un espace euclidien est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie muni d'un [[Produit scalaire|produit scalaire]].
10
11##### Exemples
12
13- Les espaces euclidiens formés à partir des espaces vectoriels $R^n$ muni du produit scalaire : $x.y = \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}y_{k}$ pour $x=(x_{1}, ...x_{n})$ et $y=(y_1, ..., y_n)$.
14- Les espaces des matrices $M_{n}(\mathbf{R})$ muni du produit scalaire : $(A|B) = Tr(A^{t}B)$.
15- Les espaces de polynômes $R_{n}[X]$ muni du produit scalaire : $(P|Q) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k}b_{k}$ avec $P(X) = \sum\limits_{k=0}^n a_{k}X^{k}$ et $Q(X) = \sum\limits_{k=0}^n a_{k}X^{k}$.

Revision 6550

10/3/2026, 4:04:19 PM · Lemins Cate

Concept created

##### Définition intuitive

L'espace euclidien est la formalisation et la généralisation du plan et de l'espace euclidien de la géométrie classique. Cela permet de redéfinir la géométrie classique dans le cadre des mathématiques modernes avec les [[Espaces affines euclidiens|espaces affines euclidiens]]. 

Dans ce contexte, la structure importante est le produit scalaire entre deux vecteurs noté $\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}$. Grâce à cela, il est possible de définir des distances entre deux points et des angles comme par exemple en dimensions 2 avec le produit scalaire classique : $||\overrightarrow{AB} || = \sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2} + (y_{B}-y_{A})^{2}}$ ainsi que des angles $\theta = \arccos\left(\frac{\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}}{||\overrightarrow{x}||\times||\overrightarrow{y}||}\right)$.

##### Définition formelle

Un espace euclidien est un espace vectoriel de dimension finie muni d'un [[Produit scalaire|produit scalaire]].

##### Exemples

- Les espaces euclidiens formés à partir des espaces vectoriels $R^n$ muni du produit scalaire : $x.y = \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}y_{k}$ pour $x=(x_{1}, ...x_{n})$ et $y=(y_1, ..., y_n)$.
- Les espaces des matrices $M_{n}(\mathbf{R})$ muni du produit scalaire : $(A|B) = Tr(A^{t}B)$.
- Les espaces de polynômes $R_{n}[X]$ muni du produit scalaire : $(P|Q) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k}b_{k}$ avec $P(X) = \sum\limits_{k=0}^n a_{k}X^{k}$ et $Q(X) = \sum\limits_{k=0}^n a_{k}X^{k}$.