Espace euclidien

Définition intuitive

L’espace euclidien est la formalisation et la généralisation du plan et de l’espace euclidien de la géométrie classique. Cela permet de redéfinir la géométrie classique dans le cadre des mathématiques modernes avec les espaces affines euclidiens.

Dans ce contexte, la structure importante est le produit scalaire entre deux vecteurs noté $\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}$. Grâce à cela, il est possible de définir des distances entre deux points et des angles comme par exemple en dimensions 2 avec le produit scalaire classique : $||\overrightarrow{AB} || = \sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2} + (y_{B}-y_{A})^{2}}$ ainsi que des angles $\theta = \arccos\left(\frac{\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}}{||\overrightarrow{x}||\times||\overrightarrow{y}||}\right)$.

Définition formelle

Un espace euclidien est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire.

Exemples

• Les espaces euclidiens formés à partir des espaces vectoriels $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire : $x.y = \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}y_{k}$ pour $x=(x_{1}, ...x_{n})$ et $y=(y_1, ..., y_n)$.
• Les espaces des matrices $M_{n}(\mathbb{R})$ muni du produit scalaire : $(A|B) = \operatorname{Tr}(A^{\mathsf{T}}B)$.
• Les espaces de polynômes $\mathbb{R}_{n}[X]$ muni du produit scalaire : $(P|Q) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k}b_{k}$ avec $P(X) = \sum\limits_{k=0}^n a_{k}X^{k}$ et $Q(X) = \sum\limits_{k=0}^n a_{k}X^{k}$.