Inégalité de Cauchy-Schwarz

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Intuition

L’inégalité de Cauchy-Schwarz exprime que le produit scalaire de deux vecteurs ne peut pas dépasser le produit de leurs longueurs.

Par exemple, avec le produit scalaire habituel de $\mathbb R^2$ , on a
$\langle x,y\rangle=\|x\|\|y\|\cos(\theta),$ où $\theta$ désigne l’angle entre $x$ et $y$ . Comme $|\cos(\theta)|\leqslant 1$ , cela montre que $|\langle x,y\rangle|\leqslant\|x\|\|y\|$ .

Enoncé

Soit $E$ un espace euclidien muni du produit scalaire $\langle \cdot,\cdot \rangle$ .
Alors, pour tous $x,y\in E$ ,
$\bigl|\langle x,y\rangle\bigr| \leqslant \sqrt{\langle x,x\rangle}\, \sqrt{\langle y,y\rangle}.$ Autrement dit,
$\bigl|\langle x,y\rangle\bigr| \leqslant \|x\|\,\|y\|.$ De plus, il y a égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Practice this concept with exercises

Établir les inégalités suivantes grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
$\textbf{1)}$ Montrer que $\forall n \in \N, \left( \sum\limits_{k = 0}^n \sqrt{\binom{n}{k}}\right)^{2} \leqslant (n+1)2^{n}$
$\textbf{2)}$ Soient $x_{1}, \cdots, x_{n}$ tels que $x_{1} + \cdots + x_{n} = 1$ , montrer que $n^{2} \leqslant \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_{i}}$
$\textbf{3)}$ Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ , montrer que $\left( \int_{0}^1 xf(x) dx \right)^{2} \leqslant \frac 1 2 \int_{0}^{1} f^2$

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