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##### Définition intuitive

Soit $M$ une [[variété lisse]] et $p\in M$. Près de $p$, la variété $M$ peut être vue comme un objet presque linéaire. L’espace tangent $T_pM$ est précisément l’[[espace-vectoriel|espace vectoriel]] qui décrit cette approximation linéaire de $M$ au voisinage de $p$.

![image](https://s3.pub2.infomaniak.cloud/object/v1/AUTH_7cc517879b0040959f7d12abb1f0e72d/mathwoods-images/uploads/2026/09/user-1/1789577327850-3a518d649b42d5b3-image.png#mw-width-48)
*L'espace tangent en un point de la [[sphere-fr|sphère]], appelé plan tangent*.

On est tentés de définir l'espace tangent comme l'espace vectoriel des vecteurs tangents à $M$ en $p$. Cependant, cette idée doit être précisée : sur une variété abstraite, la notion de vecteur n’est pas immédiate, car la variété n’est pas nécessairement plongée dans un espace euclidien.

##### Définition formelle (avec les courbes)

##### Définition formelle (avec les dérivations)