Espace tangent

Définition intuitive

Soit $M$ une variété lisse et $p\in M$. Près de $p$, la variété $M$ peut être vue comme un objet presque linéaire. L’espace tangent $T_pM$ est précisément l’espace vectoriel qui décrit cette approximation linéaire de $M$ au voisinage de $p$.

L’espace tangent en un point de la sphère, appelé plan tangent.

On est tentés de définir l’espace tangent comme l’espace vectoriel des vecteurs tangents à $M$ en $p$. Cependant, cette idée doit être précisée : sur une variété abstraite, la notion de vecteur n’est pas immédiate, car la variété n’est pas nécessairement plongée dans un espace euclidien.

Définition formelle (avec les courbes)

Définition formelle (avec les dérivations)