Exposant d’irrationalité
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Revision 7157
10/13/2026, 4:11:19 PM · Ancient Tree
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##### Définition formelle2
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Pour tout $x\in\R$, on définit son *exposant d'irrationalité* par4
$$\mu(x):=\sup\left\{\nu>0\text{ tel que } 0<\left|\alpha-\dfrac{p}{q}\right|<\dfrac{1}{q^{\nu}} \text{ pour une \textit{infinité} de couples premiers entre-eux }(p,q)\in\Z\times\N^{*}\right\}.$$4
$$\mu(x):=\sup\left\{\nu>0\text{ tel que } 0<\left|\alpha-\dfrac{p}{q}\right|<\dfrac{1}{q^{\nu}} \text{ pour une \textit{infinité} de couples premiers entre eux }(p,q)\in\Z\times\N^{*}\right\}.$$5
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##### Exemples7
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- Tout nombre irrationnel vérifie $\mu(x)\geqslant2$.9
- Le théorème de Roth affirme que tout nombre algébrique irrationnel vérifie $\mu(x)=2$.10
- Attention, il existe des nombres transcendants qui ont 2 pour exposant d'irrationalité.Revision 7139
10/13/2026, 1:51:10 PM · NawzadHogan
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##### Définition formelle
Pour tout $x\in\R$, on définit son *exposant d'irrationalité* par
$$\mu(x):=\sup\left\{\nu>0\text{ tel que } 0<\left|\alpha-\dfrac{p}{q}\right|<\dfrac{1}{q^{\nu}} \text{ pour une \textit{infinité} de couples premiers entre-eux }(p,q)\in\Z\times\N^{*}\right\}.$$
##### Exemples
- Tout nombre irrationnel vérifie $\mu(x)\geqslant2$.
- Le théorème de Roth affirme que tout nombre algébrique irrationnel vérifie $\mu(x)=2$.
- Attention, il existe des nombres transcendants qui ont 2 pour exposant d'irrationalité.