Exposant d’irrationalité

Définition formelle

Pour tout $x\in\R$, on définit son exposant d’irrationalité par
$$\mu(x):=\sup\left\{\nu>0\text{ tel que } 0<\left|\alpha-\dfrac{p}{q}\right|<\dfrac{1}{q^{\nu}} \text{ pour une \textit{infinité} de couples premiers entre-eux }(p,q)\in\Z\times\N^{*}\right\}.$$

Exemples

• Tout nombre irrationnel vérifie $\mu(x)\geqslant2$.
• Le théorème de Roth affirme que tout nombre algébrique irrationnel vérifie $\mu(x)=2$.
• Attention, il existe des nombres transcendants qui ont 2 pour exposant d’irrationalité.