Il est irrationnel, certes, mais à quel point ?

Ce problème s’inscrit dans la continuité du problème suivant : Une histoire de tiroirs et de pigeons

1. Déduire du théorème de Dirichlet sur l’approximation d’irrationnels que, pour tout $x\in\R\setminus\Q$, $\mu(x)\geqslant2$, où $\mu(x)$ est l'Exposant d’irrationalité de $x$.

Maintenant, énonçons le théorème de Roth, résultat qui lui a valu la médaille Fields en 1958 :

Pour tout $\alpha$ irrationnel algébrique, pour tout $\varepsilon >0$, l’inéquation d’inconnues $p$ et $q$ entiers :
$$\left|\alpha-\dfrac{p}{q}\right|<\dfrac{1}{q^{2+\varepsilon}}$$n’a qu’un nombre fini de solutions.

2. Déduire du théorème de Roth que, lorsque $x$ est un nombre irrationnel algébrique, alors $\mu(x)=2$.

Attention, il existe bien des nombres transcendants $x$ qui vérifient $\mu(x)=2$ !

4. Montrer que $\mu(e)=2$. Je vous conseille vivement de consulter l’indication.