Famille libre
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Revision 3046
8/30/2026, 8:07:53 PM · SalixBabylonica
Added exercise "Exercice 1"
linked exercisesNoneExercice 1
Revision 3045
8/30/2026, 8:03:47 PM · SalixBabylonica
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##### Définition formelle1
##### Définition formelle :2
Soit $\mathbb{K}$ un [[corps]] et $E$ un $\mathbb{K}$-[[espace vectoriel|ev]].3
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- Cas finie :5
Soit $n\in\mathbb{N}$ et $(e_i)_{1\le i\le n}$ une famille de [[vecteurs]] de $E$.6
On dit que cette famille est libre lorsque :7
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\[9
\forall (\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in \mathbb{K}^n,\quad 10
\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i = 0 \;11
\Rightarrow12
\lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0.13
\]14
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- Cas infinie :16
Lorsque la famille $(e_i)_{i\in I}$ est infinie, on dit qu'elle est libre si et seulement si17
toute sous-famille finie est libre.Revision 3042
8/30/2026, 7:59:29 PM · SalixBabylonica
Concept created
##### Définition formelle
Soit $\mathbb{K}$ un [[corps]] et $E$ un $\mathbb{K}$-[[espace vectoriel|ev]].
- Cas finie :
Soit $n\in\mathbb{N}$ et $(e_i)_{1\le i\le n}$ une famille de [[vecteurs]] de $E$.
On dit que cette famille est libre lorsque :
\[
\forall (\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in \mathbb{K}^n,\quad
\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i = 0 \;
\Rightarrow
\lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0.
\]
- Cas infinie :
Lorsque la famille $(e_i)_{i\in I}$ est infinie, on dit qu'elle est libre si et seulement si
toute sous-famille finie est libre.