Formule de Taylor avec reste intégral
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Revision 6917
10/8/2026, 5:38:51 PM · quark67
Ajout d'un lien vers le concept d'intégration par partie, ajout d'une précision sur n dans la formule générale. Mise en forme (crochets plus grands, différentielle avec d droit)
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##### Origine intuitive2
La formule de Taylor vient du [[théorème fondamental de l'analyse]].3
En effet, en considérant $f$ suffisament "régulière" sur $I$ un intervalle et $a \in I$, on peut écrire 3
En effet, en considérant une fonction $f$ suffisamment « régulière » sur un intervalle $I$, et $a \in I$, on peut écrire 4
\[5
f(x)= f(a) + \int_{a}^{x} f'(t) \, dt.5
f(x)= f(a) + \int_{a}^{x} f'(t) \diff t.6
\]7
On peut ensuite intégrer par parties ce qui donne7
On peut ensuite [[integration-par-parties|intégrer par parties]] ce qui donne8
\[9
f(x) = f(a) + [-(x-t) f'(t)]_{a}^{x} - \int_{a}^{x}(-(x-t)) f^{(2)}(t) \, dt,9
f(x) = f(a) +\big [-(x-t) f'(t)\big]10
_{a}^{x} - \int_{a}^{x}(-(x-t)) f^{(2)}(t) \diff t,10
\]11
c'est-à-dire,12
\[13
f(x) = f(a) + (x-a) f'(a) + \int_{a}^{x}(x-t) f^{(2)}(t) \, dt.14
f(x) = f(a) + (x-a) f'(a) + \int_{a}^{x}(x-t) f^{(2)}(t) \diff t.14
\]15
On pourrait alors recommencer une intégrationpar parties ce qui donnerait16
On pourrait alors recommencer une intégration par parties ce qui donnerait16
\[17
f(x) = f(a) + (x-a) f'(a) + \frac{(x-a)^{2}}{2!}f^{(2)}(a) + \int_{a}^{x}\frac{(x-t)^{2}}{2!} f^{(3)}(t) \, dt.18
f(x) = f(a) + (x-a) f'(a) + \frac{(x-a)^{2}}{2!}f^{(2)}(a) + \int_{a}^{x}\frac{(x-t)^{2}}{2!} f^{(3)}(t) \diff t.18
\]19
Et en continuant ce proccessus $n$ fois, on aboutirait à la formule ci-dessous.20
Et en continuant ce processus $n$ fois, on aboutirait à la formule ci-dessous.20
21
##### Formule de Taylor avec reste intégral22
Soit $I$ un intervalle, $a \in I$.23
Soit $I$ un intervalle, $a \in I$, et $n$ un entier.23
Soit $f \in C^{n+1}(I,\mathbb{R}).$24
Alors, pour tout $x \in I$, on a25
\[26
f(x) = \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(a)\frac{(x-a)^{k}}{k!} + \int_{a}^{x}\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t) \,dt.27
f(x) = \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(a)\frac{(x-a)^{k}}{k!} + \int_{a}^{x}\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t) \diff t.27
\]Revision 6912
10/8/2026, 4:02:03 PM · SalixBabylonica
Concept created
##### Origine intuitive
La formule de Taylor vient du [[théorème fondamental de l'analyse]].
En effet, en considérant $f$ suffisament "régulière" sur $I$ un intervalle et $a \in I$, on peut écrire
\[
f(x)= f(a) + \int_{a}^{x} f'(t) \, dt.
\]
On peut ensuite intégrer par parties ce qui donne
\[
f(x) = f(a) + [-(x-t) f'(t)]_{a}^{x} - \int_{a}^{x}(-(x-t)) f^{(2)}(t) \, dt,
\]
c'est-à-dire,
\[
f(x) = f(a) + (x-a) f'(a) + \int_{a}^{x}(x-t) f^{(2)}(t) \, dt.
\]
On pourrait alors recommencer une intégrationpar parties ce qui donnerait
\[
f(x) = f(a) + (x-a) f'(a) + \frac{(x-a)^{2}}{2!}f^{(2)}(a) + \int_{a}^{x}\frac{(x-t)^{2}}{2!} f^{(3)}(t) \, dt.
\]
Et en continuant ce proccessus $n$ fois, on aboutirait à la formule ci-dessous.
##### Formule de Taylor avec reste intégral
Soit $I$ un intervalle, $a \in I$.
Soit $f \in C^{n+1}(I,\mathbb{R}).$
Alors, pour tout $x \in I$, on a
\[
f(x) = \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(a)\frac{(x-a)^{k}}{k!} + \int_{a}^{x}\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t) \,dt.
\]