Formule de Taylor avec reste intégral

Origine intuitive

La formule de Taylor vient du théorème fondamental de l’analyse.
En effet, en considérant une fonction $f$ suffisamment « régulière » sur un intervalle $I$, et $a \in I$, on peut écrire
$$f(x)= f(a) + \int_{a}^{x} f'(t) \diff t.$$On peut ensuite intégrer par parties ce qui donne
$$f(x) = f(a) +\big [-(x-t) f'(t)\big] _{a}^{x} - \int_{a}^{x}(-(x-t)) f^{(2)}(t) \diff t,$$c’est-à-dire,
$$f(x) = f(a) + (x-a) f'(a) + \int_{a}^{x}(x-t) f^{(2)}(t) \diff t.$$On pourrait alors recommencer une intégration par parties ce qui donnerait
$$f(x) = f(a) + (x-a) f'(a) + \frac{(x-a)^{2}}{2!}f^{(2)}(a) + \int_{a}^{x}\frac{(x-t)^{2}}{2!} f^{(3)}(t) \diff t.$$Et en continuant ce processus $n$ fois, on aboutirait à la formule ci-dessous.

Formule de Taylor avec reste intégral

Soit $I$ un intervalle, $a \in I$, et $n$ un entier.
Soit $f \in C^{n+1}(I,\mathbb{R}).$
Alors, pour tout $x \in I$, on a
$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(a)\frac{(x-a)^{k}}{k!} + \int_{a}^{x}\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t) \diff t.$$