Formule de Taylor-Young
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Revision 7576
10/22/2026, 7:32:11 AM · Ancient Tree
Updated domain
domainOtherReal analysis
Revision 7571
10/22/2026, 7:20:33 AM · Ancient Tree
Added exercise "Formule de Taylor-Young à l'ordre $1$ pour un polynôme de degré $2$"
linked exercisesUn exemple d’utilisation de la formule de Taylor-YoungUn exemple d’utilisation de la formule de Taylor-Young, Formule de Taylor-Young à l’ordre pour un polynôme de degré
Revision 7569
10/22/2026, 7:12:22 AM · Ancient Tree
Added exercise "Un exemple d'utilisation de la formule de Taylor-Young"
linked exercisesNoneUn exemple d’utilisation de la formule de Taylor-Young
Revision 7568
10/22/2026, 7:10:12 AM · Ancient Tree
Updated text
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1
##### Intuition2
3
La formule de Taylor-Young permet d'approcher une [[application|fonction]] $f$, au voisinage d'un point $a$, par un [[polynome|polynôme]] dont les coefficients dépendent des [[dérivées successives|dérivées successives]] de $f$ en $a$.4
5
Elle permet notamment d'obtenir des [[développement limité|développements limités]], qui sont ensuite utilisés pour calculer des limites et des équivalents.6
7
##### Enoncé8
9
Soit $I$ un [[intervalle|intervalle]], $a\in I$ et $f\in\mathcal C^n(I,\mathbb R)$. Alors il existe une fonction $\varepsilon : I\to\mathbb R$ telle que10
\[ \lim_{x\to a}\varepsilon(x)=0 \]11
et12
\[ \forall x\in I, \qquad f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + (x-a)^n\varepsilon(x). \]13
14
##### Remarques15
16
- La somme17
\[ \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \]18
est appelée le **polynôme de Taylor d'ordre $n$ de $f$ en $a$**.18
est appelée le polynôme de Taylor d'ordre $n$ de $f$ en $a$.19
20
- Le terme $(x-a)^n\varepsilon(x)$ représente l'erreur commise en remplaçant $f$ par son polynôme de Taylor. Cette erreur est négligeable devant $(x-a)^n$ lorsque $x$ tend vers $a$.21
22
- On peut écrire cette erreur sous la forme $o\left((x-a)^n\right)$ (voir la notation [[petit o|petit o]]). On obtient ainsi le développement limité d'ordre $n$ de $f$ en $a$.Revision 7567
10/22/2026, 7:09:36 AM · Ancient Tree
Ajouté quelques liens, et j'ai surtout enlevé la traduction du petit o pour l'erreur, ce qui était un peu lourd
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1
##### But1
##### Intuition2
Le but de la formule de Taylor-Young est d'approcher localement une fonction $f$ au voisinage d'un point $a$ par un polynôme.3
4
La formule de Taylor-Young permet notamment d'obtenir des développements limités, qui sont ensuite utilisés pour calculer des limites et des équivalents.3
La formule de Taylor-Young permet d'approcher une [[application|fonction]] $f$, au voisinage d'un point $a$, par un [[polynome|polynôme]] dont les coefficients dépendent des [[dérivées successives|dérivées successives]] de $f$ en $a$.5
6
##### Formule de Taylor-Young5
Elle permet notamment d'obtenir des [[développement limité|développements limités]], qui sont ensuite utilisés pour calculer des limites et des équivalents.7
Soit $I$ un intervalle, $a\in I$ et $f\in\mathcal C^n(I,\mathbb R)$. Alors il existe une fonction6
8
\[ \varepsilon : I\to\mathbb R \]7
##### Enoncé9
telle que8
9
Soit $I$ un [[intervalle|intervalle]], $a\in I$ et $f\in\mathcal C^n(I,\mathbb R)$. Alors il existe une fonction $\varepsilon : I\to\mathbb R$ telle que10
\[ \lim_{x\to a}\varepsilon(x)=0 \]11
et12
\[ \forall x\in I, \qquad f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + (x-a)^n\varepsilon(x). \]13
##### Remarque13
14
- On écrit souvent la formule sous la forme :14
##### Remarques15
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + o\!\left((x-a)^n\right). \]15
16
Cette écriture est appelée le développement limité d'ordre $n$ de $f$ en $a$.16
- La somme17
- L'écriture17
\[ \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \]18
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + o\!\left((x-a)^n\right) \]18
est appelée le **polynôme de Taylor d'ordre $n$ de $f$ en $a$**.19
signifie que l'erreur commise en remplaçant $f$ par son polynôme de Taylor d'ordre $n$ est négligeable devant $(x-a)^n$ lorsque $x$ tend vers $a$.19
20
Autrement dit,20
- Le terme $(x-a)^n\varepsilon(x)$ représente l'erreur commise en remplaçant $f$ par son polynôme de Taylor. Cette erreur est négligeable devant $(x-a)^n$ lorsque $x$ tend vers $a$.21
\[ \lim_{x\to a} \frac{ f(x)-\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k } {(x-a)^n} = 0. \]21
22
- On peut écrire cette erreur sous la forme $o\left((x-a)^n\right)$ (voir la notation [[petit o|petit o]]). On obtient ainsi le développement limité d'ordre $n$ de $f$ en $a$.Revision 7566
10/22/2026, 7:00:11 AM · Ancient Tree
Updated type
typeDefinitionTheorem
Revision 7539
10/21/2026, 1:48:03 PM · SalixBabylonica
Concept created
##### But
Le but de la formule de Taylor-Young est d'approcher localement une fonction $f$ au voisinage d'un point $a$ par un polynôme.
La formule de Taylor-Young permet notamment d'obtenir des développements limités, qui sont ensuite utilisés pour calculer des limites et des équivalents.
##### Formule de Taylor-Young
Soit $I$ un intervalle, $a\in I$ et $f\in\mathcal C^n(I,\mathbb R)$. Alors il existe une fonction
\[ \varepsilon : I\to\mathbb R \]
telle que
\[ \lim_{x\to a}\varepsilon(x)=0 \]
et
\[ \forall x\in I, \qquad f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + (x-a)^n\varepsilon(x). \]
##### Remarque
- On écrit souvent la formule sous la forme :
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + o\!\left((x-a)^n\right). \]
Cette écriture est appelée le développement limité d'ordre $n$ de $f$ en $a$.
- L'écriture
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + o\!\left((x-a)^n\right) \]
signifie que l'erreur commise en remplaçant $f$ par son polynôme de Taylor d'ordre $n$ est négligeable devant $(x-a)^n$ lorsque $x$ tend vers $a$.
Autrement dit,
\[ \lim_{x\to a} \frac{ f(x)-\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k } {(x-a)^n} = 0. \]