Formule de Taylor-Young

Intuition

La formule de Taylor-Young permet d’approcher une fonction $f$, au voisinage d’un point $a$, par un polynôme dont les coefficients dépendent des dérivées successives de $f$ en $a$.

Elle permet notamment d’obtenir des développements limités, qui sont ensuite utilisés pour calculer des limites et des équivalents.

Enoncé

Soit $I$ un intervalle, $a\in I$ et $f\in\mathcal C^n(I,\mathbb R)$. Alors il existe une fonction $\varepsilon : I\to\mathbb R$ telle que
$$\lim_{x\to a}\varepsilon(x)=0$$et
$$\forall x\in I, \qquad f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + (x-a)^n\varepsilon(x).$$

Remarques

• La somme
  $$\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$est appelée le polynôme de Taylor d’ordre $n$ de $f$ en $a$.

• Le terme $(x-a)^n\varepsilon(x)$ représente l’erreur commise en remplaçant $f$ par son polynôme de Taylor. Cette erreur est négligeable devant $(x-a)^n$ lorsque $x$ tend vers $a$.

• On peut écrire cette erreur sous la forme $o\left((x-a)^n\right)$ (voir la notation petit o). On obtient ainsi le développement limité d’ordre $n$ de $f$ en $a$.