Un exemple d’utilisation de la formule de Taylor-Young

D’après la formule de Taylor-Young à l’ordre $2$ en $0$, (que l’on peut utiliser ici puisque l’exponentielle est indéfiniment dérivable, et en particulier de classe $C^{2}$) :
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+o(x^{2}),$$Pour $f(x)=e^x$, on a $f(0)=f'(0)=f''(0)=1$. Ainsi,
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^{2}).$$Donc, pour $x\neq 0$,
$$\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac12+o(1).$$Comme un $o(1)$ est juste une fonction qui tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $0$, on obtient :
$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac12.$$