Exponentielle

Intuition

La fonction exponentielle décrit une quantité dont le taux de variation est proportionnel à sa valeur actuelle. Autrement dit, plus la quantité est grande, plus elle varie rapidement.

Par exemple, on peut modéliser une épidémie grâce à la fonction exponentielle : plus il y a de personnes infectées, plus de nouvelles contaminations se produisent au cours du temps.

Mathématiquement, cette idée s’écrit grâce à la dérivée : l’exponentielle est une fonction qui est égale à sa propre dérivée.

Définition formelle

La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable $\exp:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ telle que :
$$\exp'(x)=\exp(x)$$pour tout $x\in\mathbb R$, et
$$\exp(0)=1.$$

Remarques

• $\exp(x)$ est aussi noté $e^{x}$ ou $e$ correspond à la constante d’Euler.
• Il existe une généralisation de l'exponentielle dans $\C$.