formule des classes

Définition intuitive

La formule des classes est l’outil de comptage fondamental de la théorie des groupes finis :
elle dit qu’un ensemble sur lequel un groupe agit se découpe en orbites, et que la taille de
chaque orbite est un indice, donc un diviseur de l’ordre du groupe. Toute l’efficacité vient
de là : dès qu’on sait quelque chose sur $|G|$, par exemple qu’il est une puissance d’un
nombre premier $p$, on sait que chaque orbite est de taille $1$ ou divisible par $p$, et le
décompte modulo $p$ se réduit aux seuls points fixes. On tire ainsi d’un simple argument de
cardinalité des énoncés de structure : le centre d’un $p$-groupe est non trivial, le théorème
de Cauchy, les théorèmes de Sylow, la formule de Burnside. Le cas le plus utilisé est celui
de l’action de $G$ sur lui-même par conjugaison, dont les orbites sont les classes de
conjugaison et les points fixes exactement les éléments du centre.

Définition formelle

Soit $G$ un groupe fini agissant sur un ensemble fini $X$. Les orbites formant une partition
de $X$, on obtient, en choisissant des représentants $x_1,\dots,x_r$ des orbites,
$$|X|=\sum_{i=1}^{r}\bigl|\mathrm{Orb}(x_i)\bigr|=\sum_{i=1}^{r}\bigl[G:\mathrm{Stab}(x_i)\bigr],$$la seconde égalité résultant du théorème orbite-stabilisateur. En isolant les orbites
réduites à un point, c’est-à-dire l’ensemble $X^{G}=\{x\in X : \forall g\in G,\ g\cdot x=x\}$
des points fixes, cela s’écrit
$$|X|=\bigl|X^{G}\bigr|+\sum_{\substack{i\ :\ \left[G:\mathrm{Stab}(x_i)\right]>1}}\bigl[G:\mathrm{Stab}(x_i)\bigr].$$

Appliquée à l’action de $G$ sur lui-même par conjugaison, dont les orbites sont les classes de
conjugaison, les stabilisateurs les centralisateurs et les points fixes les éléments du
centre, elle prend sa forme la plus courante : si $x_1,\dots,x_r$ représentent les classes de
conjugaison de cardinal $\geqslant 2$,
$$|G|=\bigl|Z(G)\bigr|+\sum_{i=1}^{r}\bigl[G:C_G(x_i)\bigr].$$

Remarques

• Chaque terme $[G:\mathrm{Stab}(x_i)]$ divise $|G|$ : la formule est avant tout une
  décomposition de $|G|$ en diviseurs, ce qui explique son usage systématique en arithmétique
  des groupes.
• Si $|G|=p^{n}$ avec $p$ premier, tout indice $>1$ est divisible par $p$, d’où
  $|X|\equiv |X^{G}| \pmod p$. C’est sous cette forme que la formule sert le plus souvent.
• Une variante pondérée, la formule de Burnside, compte les orbites plutôt que les éléments :
  $r=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\bigl|X^{g}\bigr|$, où $X^{g}$ est l’ensemble des points fixes
  de $g$.
• La formule vaut aussi pour $G$ infini agissant sur un $X$ fini, à condition de remplacer les
  indices par les cardinaux d’orbites, qui restent finis.

Exemples

1. Centre d’un $p$-groupe. Si $|G|=p^{n}$ avec $n\geqslant 1$, tous les termes
   $[G:C_G(x_i)]$ de la somme sont divisibles par $p$, ainsi que $|G|$ : donc $p$ divise
   $|Z(G)|$, qui contient $e$, et $Z(G)\neq\{e\}$. On en déduit qu’un groupe d’ordre $p^{2}$
   est abélien.
2. Théorème de Cauchy. Soit $p$ divisant $|G|$. On fait agir $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ par
   décalage cyclique sur $X=\{(g_1,\dots,g_p)\in G^{p} : g_1\cdots g_p=e\}$, de cardinal
   $|G|^{p-1}$. Les points fixes sont les $p$-uplets constants $(g,\dots,g)$ avec $g^{p}=e$ ;
   comme $|X^{G}|\equiv |X|\equiv 0 \pmod p$ et que $X^{G}$ contient $(e,\dots,e)$, il existe
   un élément d’ordre $p$.
3. $\mathfrak{S}_4$. Les classes de conjugaison correspondent aux types cycliques, de
   cardinaux $1,6,3,8,6$, et $24=1+6+3+8+6$ avec $Z(\mathfrak{S}_4)=\{\mathrm{id}\}$.
4. $Q_8$. Les classes sont $\{1\},\{-1\},\{\pm i\},\{\pm j\},\{\pm k\}$, d’où
   $8=2+2+2+2$ avec $|Z(Q_8)|=2$ : le centre est $\{\pm 1\}$.
5. Colliers. Pour compter les colliers de $n$ perles en $k$ couleurs à rotation près, on
   fait agir $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sur $\{1,\dots,k\}^{n}$ ; la formule de Burnside donne
   $\frac{1}{n}\sum_{d\mid n}\varphi(d)\,k^{n/d}$.
6. Contre-exemple à une lecture hâtive. La formule ne dit pas que les orbites ont toutes
   la même taille : dans l’action de $\mathfrak{S}_3$ sur lui-même par conjugaison, les
   orbites sont de tailles $1$, $2$ et $3$.