Implication
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Revision 5020
9/15/2026, 5:18:36 PM · SalixBabylonica
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### Définition 2
Soient $A$ et $B$ deux prédicats. On appelle $\emph{implication}$ le prédicat « $A$ implique $B$ », noté $A \implies B$, et vérifiant :3
\[A \implies B \text{ est vrai si et seulement si, dès que } A \text{ est vrai, alors } B \text{ l'est aussi.}\]4
**Vocabulaire**:5
1) L'implication « $B \implies A$ » est appelée la $\emph{réciproque}$ de « $A \implies B$ ».6
2) L'implication « $\neg B \implies \neg A$ » est appelée la $\emph{contraposée}$ de « $A \implies B$ ».7
8
**Attention**:9
On peut avoir $A \implies B$ sans que $B \implies A$ ne soit vrai.10
11
**Propriété fondamentale**:12
\[A \implies B \text{ est vrai si et seulement si } \neg B \implies \neg A \text{ est vrai.}\]13
Cette propriété est importante à retenir car il se peut que démontrer $A \implies B$ directement soit plus difficile que de démontrer que la contraposée soit vraie.14
15
**Négation d'une implication**:16
Pour montrer que $A \implies B$ est faux, il suffit de montrer que $A$ est vrai mais $B$ est faux. En effet, on a l'équivalence suivante :17
\[\neg (A\implies B) \Longleftrightarrow A \text{ et } \neg B \]15
19
16
**Rédaction**:17
Pour montrer $A \implies B$, on suppose que $A$ soit vraie et l'on montre que cela entraîne que $B$ soit vraie.18
Pour cela, on peut écrire notre raisonnement de la manière suivante :19
\[\text{Supposons } A \]20
\[\vdots\]21
\[\text{Donc } B \text{ est vraie.}\]Revision 4834
9/13/2026, 4:30:16 PM · SalixBabylonica
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### Définition 2
Soient $A$ et $B$ deux prédicats. On appelle $\emph{implication}$ le prédicat « $A$ implique $B$ », noté $A \implies B$, et vérifiant :3
\[A \implies B \text{ est vrai si et seulement si, dès que } A \text{ est vrai, alors } B \text{ l'est aussi.}\]4
**Vocabulaire**:5
1) L'implication « $B \implies A$ » est appelée la $\emph{réciproque}$ de « $A \implies B$ ».6
2) L'implication « $\neg B \implies \neg A$ » est appelée la $\emph{contraposée}$ de « $A \implies B$ ».7
8
**Attention**:9
On peut avoir $A \implies B$ sans que $B \implies A$ ne soit vrai.10
11
**Propriété fondamentale**:12
\[A \implies B \text{ est vrai si et seulement si } \neg B \implies \neg A \text{ est vrai.}\]13
Cette propriété est importante à retenir car il se peut que démontrer $A \implies B$ directement soit plus difficile que de démontrer que la contraposée soit vraie.14
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16
**Rédaction**:17
Pour montrer $A \implies B$, on suppose que $A$ soit vraie et l'on montre que cela entraîne que$B$ soit vraie.17
Pour montrer $A \implies B$, on suppose que $A$ soit vraie et l'on montre que cela entraîne que $B$ soit vraie.18
Pour cela, on peut écrire notre raisonnement de la manière suivante :19
\[\text{Supposons } A \]20
\[\vdots\]21
\[\text{Donc } B \text{ est vraie.}\]Revision 4833
9/13/2026, 4:30:03 PM · SalixBabylonica
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### Définition 2
Soient $A$ et $B$ deux prédicats. On appelle $\emph{implication}$ le prédicat « $A$ implique $B$ », noté $A \implies B$, et vérifiant :3
\[A \implies B \text{ est vrai si et seulement si, dès que } A \text{ est vrai, alors } B \text{ l'est aussi.}\]4
**Vocabulaire**:5
1) L'implication « $B \implies A$ » est appelée la $\emph{réciproque}$ de « $A \implies B$ ».6
2) L'implication « $\neg B \implies \neg A$ » est appelée la $\emph{contraposée}$ de « $A \implies B$ ».7
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**Attention**:9
On peut avoir $A \implies B$ sans que $B \implies A$ ne soit vrai.10
11
**Propriété fondamentale**:12
\[A \implies B \text{ est vrai si et seulement si } \neg B \implies \neg A \text{ est vrai.}\]13
Cette propriété est importante à retenir car il se peut que démontrer $A \implies B$ directement soit plus difficile que de démontrer que la contraposée et vraie.13
Cette propriété est importante à retenir car il se peut que démontrer $A \implies B$ directement soit plus difficile que de démontrer que la contraposée soit vraie.14
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16
**Rédaction**:17
Pour montrer $A \implies B$, on suppose que $A$ soit vraie et l'on montre que cela entraîne que$B$ soit vraie.18
Pour cela, on peut écrire notre raisonnement de la manière suivante :19
\[\text{Supposons } A \]20
\[\vdots\]21
\[\text{Donc } B \text{ est vraie.}\]Revision 4832
9/13/2026, 4:29:34 PM · SalixBabylonica
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### Définition 2
Soient $A$ et $B$ deux prédicats. On appelle $\emph{implication}$ le prédicat « $A$ implique $B$ », noté $A \implies B$, et vérifiant :3
\[A \implies B \text{ est vrai si et seulement si, dès que } A \text{ est vrai, alors } B \text{ l'est aussi.}\]4
**Vocabulaire**:5
1) L'implication « $B \implies A$ » est appelée la $\emph{réciproque}$ de « $A \implies B$ ».6
2) L'implication « $\neg B \implies \neg A$ » est appelée la $\emph{contraposée}$ de « $A \implies B$ ».7
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**Attention**:9
On peut avoir $A \implies B$ sans que $B \implies A$ ne soit vrai.10
11
**Propriété fondamentale**:12
\[A \implies B \text{ est vrai si et seulement si} \neg B \implies \neg A \text{ est vrai.}\]12
\[A \implies B \text{ est vrai si et seulement si } \neg B \implies \neg A \text{ est vrai.}\]13
Cette propriété est importante à retenir car il se peut que démontrer $A \implies B$ directement soit plus difficile que de démontrer que la contraposée et vraie.14
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**Rédaction**:17
Pour montrer $A \implies B$, on suppose que $A$ soit vraie et l'on montre que cela entraîne que$B$ soit vraie.18
Pour cela, on peut écrire notre raisonnement de la manière suivante :19
\[\text{Supposons } A \]20
\[\vdots\]21
\[\text{Donc } B \text{ est vraie.}\]Revision 4831
9/13/2026, 4:29:16 PM · SalixBabylonica
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### Définition 2
Soient $A$ et $B$ deux prédicats. On appelle $\emph{implication}$ le prédicat « $A$ implique $B$ », noté $A \implies B$, et vérifiant :3
\[A \implies B \text{ est vrai si et seulement si, dès que } A \text{ est vrai, alors } B \text{ l'est aussi.}\]4
**Vocabulaire**:5
1) L'implication « $B \implies A$ » est appelée la $\emph{réciproque}$ de « $A \implies B$ ».6
2) L'implication « $\neg B \implies \neg A$ » est appelée la $\emph{contraposée}$ de « $A \implies B$ ».7
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**Attention**:9
On peut avoir $A \implies B$ sans que $B \implies A$ ne soit vrai.10
11
**Propriété fondamentale**:12
$A \implies B$ est vrai si et seulement si $\neg B \implies \neg A$ est vrai.12
\[A \implies B \text{ est vrai si et seulement si} \neg B \implies \neg A \text{ est vrai.}\]13
Cette propriété est importante à retenir car il se peut que démontrer $A \implies B$ directement soit plus difficile que de démontrer que la contraposée et vraie.14
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16
**Rédaction**:17
Pour montrer $A \implies B$, on suppose que $A$ soit vraie et l'on montre que cela entraîne que$B$ soit vraie.18
Pour cela, on peut écrire notre raisonnement de la manière suivante :19
\[\text{Supposons } A \]20
\[\vdots\]21
\[\text{Donc } B \text{ est vraie.}\]Revision 4830
9/13/2026, 4:28:36 PM · SalixBabylonica
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### Définition
Soient $A$ et $B$ deux prédicats. On appelle $\emph{implication}$ le prédicat « $A$ implique $B$ », noté $A \implies B$, et vérifiant :
\[A \implies B \text{ est vrai si et seulement si, dès que } A \text{ est vrai, alors } B \text{ l'est aussi.}\]
**Vocabulaire**:
1) L'implication « $B \implies A$ » est appelée la $\emph{réciproque}$ de « $A \implies B$ ».
2) L'implication « $\neg B \implies \neg A$ » est appelée la $\emph{contraposée}$ de « $A \implies B$ ».
**Attention**:
On peut avoir $A \implies B$ sans que $B \implies A$ ne soit vrai.
**Propriété fondamentale**:
$A \implies B$ est vrai si et seulement si $\neg B \implies \neg A$ est vrai.
Cette propriété est importante à retenir car il se peut que démontrer $A \implies B$ directement soit plus difficile que de démontrer que la contraposée et vraie.
**Rédaction**:
Pour montrer $A \implies B$, on suppose que $A$ soit vraie et l'on montre que cela entraîne que$B$ soit vraie.
Pour cela, on peut écrire notre raisonnement de la manière suivante :
\[\text{Supposons } A \]
\[\vdots\]
\[\text{Donc } B \text{ est vraie.}\]