Implication

Définition

Soient $A$ et $B$ deux prédicats. On appelle $\emph{implication}$ le prédicat « $A$ implique $B$ », noté $A \implies B$, et vérifiant :
$$A \implies B \text{ est vrai si et seulement si, dès que } A \text{ est vrai, alors } B \text{ l'est aussi.}$$Vocabulaire:

1. L’implication « $B \implies A$ » est appelée la $\emph{réciproque}$ de « $A \implies B$ ».
2. L’implication « $\neg B \implies \neg A$ » est appelée la $\emph{contraposée}$ de « $A \implies B$ ».

Attention:
On peut avoir $A \implies B$ sans que $B \implies A$ ne soit vrai.

Propriété fondamentale:
$$A \implies B \text{ est vrai si et seulement si } \neg B \implies \neg A \text{ est vrai.}$$Cette propriété est importante à retenir car il se peut que démontrer $A \implies B$ directement soit plus difficile que de démontrer que la contraposée soit vraie.

Négation d’une implication:
Pour montrer que $A \implies B$ est faux, il suffit de montrer que $A$ est vrai mais $B$ est faux. En effet, on a l’équivalence suivante :
$$\neg (A\implies B) \Longleftrightarrow A \text{ et } \neg B$$

Rédaction:
Pour montrer $A \implies B$, on suppose que $A$ soit vraie et l’on montre que cela entraîne que $B$ soit vraie.
Pour cela, on peut écrire notre raisonnement de la manière suivante :
$$\text{Supposons } A$$$$\vdots$$$$\text{Donc } B \text{ est vraie.}$$