Inégalité de Cauchy Schwartz
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Revision 5386
9/19/2026, 6:21:34 PM · Ancient Tree
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##### Définition formelle1
##### Intuition2
3
L’inégalité de Cauchy-Schwarz exprime que le [[produit-scalaire|produit scalaire]] de deux vecteurs ne peut pas dépasser le produit de leurs longueurs.4
5
Par exemple, avec le produit scalaire habituel de $\mathbb R^2$, on a6
$$7
\langle x,y\rangle=\|x\|\|y\|\cos(\theta),8
$$9
où $\theta$ désigne l’angle entre $x$ et $y$. Comme $|\cos(\theta)|\leqslant 1$, cela montre que $|\langle x,y\rangle|\leqslant\|x\|\|y\|$.10
11
##### Enoncé 12
2
Soit $E$ un [[espace euclidien]] muni du [[produit scalaire]] $\langle \cdot,\cdot \rangle$. 3
Alors, pour tous $x,y\in E$,4
\[ \bigl|\langle x,y\rangle\bigr| \leqslant \sqrt{\langle x,x\rangle}\, \sqrt{\langle y,y\rangle}. \]5
Autrement dit,6
\[ \bigl|\langle x,y\rangle\bigr| \leqslant \|x\|\,\|y\|. \]7
De plus, on a égalité si et seulement si $(x,y)$ est [[liée]].18
De plus, il y a égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont [[colinéaires|colinéaires]].Revision 5313
9/18/2026, 9:30:23 PM · quark67
Emploi des symboles bien connus en France (⩽, pas ≤)
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##### Définition formelle2
Soit $E$ un [[espace euclidien]] muni du [[produit scalaire]] $\langle \cdot,\cdot \rangle$. 3
Alors, pour tous $x,y\in E$,4
\[ \bigl|\langle x,y\rangle\bigr| \leq \sqrt{\langle x,x\rangle}\, \sqrt{\langle y,y\rangle}. \]4
\[ \bigl|\langle x,y\rangle\bigr| \leqslant \sqrt{\langle x,x\rangle}\, \sqrt{\langle y,y\rangle}. \]5
Autrement dit,6
\[ \bigl|\langle x,y\rangle\bigr| \leq \|x\|\,\|y\|. \]6
\[ \bigl|\langle x,y\rangle\bigr| \leqslant \|x\|\,\|y\|. \]7
De plus, on a égalité si et seulement si $(x,y)$ est [[liée]].Revision 5296
9/18/2026, 1:44:58 PM · SalixBabylonica
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1
##### Définition formelle2
Soit $E$ un [[espace euclidien]] muni du [[produit scalaire]] $\langle \cdot,\cdot \rangle$. 3
Alors, pour tous $x,y\in E$,4
\[ \bigl|\langle x,y\rangle\bigr| \leq \sqrt{\langle x,x\rangle}\, \sqrt{\langle y,y\rangle}. \]5
Autrement dit,6
\[ \bigl|\langle x,y\rangle\bigr| \leq \|x\|\,\|y\|. \]7
De plus, on a égalité si et seulement si $(x,y)$ est liée.7
De plus, on a égalité si et seulement si $(x,y)$ est [[liée]].Revision 5295
9/18/2026, 1:44:43 PM · SalixBabylonica
Concept created
##### Définition formelle
Soit $E$ un [[espace euclidien]] muni du [[produit scalaire]] $\langle \cdot,\cdot \rangle$.
Alors, pour tous $x,y\in E$,
\[ \bigl|\langle x,y\rangle\bigr| \leq \sqrt{\langle x,x\rangle}\, \sqrt{\langle y,y\rangle}. \]
Autrement dit,
\[ \bigl|\langle x,y\rangle\bigr| \leq \|x\|\,\|y\|. \]
De plus, on a égalité si et seulement si $(x,y)$ est liée.