Inégalité de Cauchy Schwartz

Intuition

L’inégalité de Cauchy-Schwarz exprime que le produit scalaire de deux vecteurs ne peut pas dépasser le produit de leurs longueurs.

Par exemple, avec le produit scalaire habituel de $\mathbb R^2$, on a
$$\langle x,y\rangle=\|x\|\|y\|\cos(\theta),$$où $\theta$ désigne l’angle entre $x$ et $y$. Comme $|\cos(\theta)|\leqslant 1$, cela montre que $|\langle x,y\rangle|\leqslant\|x\|\|y\|$.

Enoncé

Soit $E$ un espace euclidien muni du produit scalaire $\langle \cdot,\cdot \rangle$.
Alors, pour tous $x,y\in E$,
$$\bigl|\langle x,y\rangle\bigr| \leqslant \sqrt{\langle x,x\rangle}\, \sqrt{\langle y,y\rangle}.$$Autrement dit,
$$\bigl|\langle x,y\rangle\bigr| \leqslant \|x\|\,\|y\|.$$De plus, il y a égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.