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##### Définition intuitive
Une isométrie est une transformation qui ne déforme rien : elle conserve les distances, donc aussi les angles et les volumes en valeur absolue. Elle est dite *directe* lorsqu'elle préserve en outre l'orientation, autrement dit, lorsqu'on peut la réaliser par un mouvement continu, sans jamais retourner l'espace. 

##### Définition formelle
Soit $E$ un espace euclidien orienté de dimension $n$. Une application linéaire $u\in\mathcal{L}(E)$ est une *isométrie* (ou automorphisme orthogonal) si elle conserve le produit scalaire :
$$\forall x,y\in E,\qquad \langle u(x),u(y)\rangle=\langle x,y\rangle,$$
ce qui équivaut à conserver la norme, ou encore à $A^{\mathsf T}A=I_n$ pour sa matrice dans une base orthonormée. Ces applications forment le groupe orthogonal $\mathcal{O}(E)$, et $\det u=\pm 1$.

L'isométrie est dite **directe** si $\det u=+1$, **indirecte** sinon. Les isométries directes forment le sous-groupe spécial orthogonal
$$\mathcal{SO}(E)=\{u\in\mathcal{O}(E)\ :\ \det u=1\},$$
d'indice $2$ dans $\mathcal{O}(E)$, donc distingué : c'est le noyau du morphisme $\det:\mathcal{O}(E)\to\{\pm1\}$.

**Théorème (Euler).** Soit $E$ de dimension $3$ et $u\in\mathcal{SO}(E)$, $u\neq\mathrm{id}$. Alors il existe une droite $D=\ker(u-\mathrm{id})$, un vecteur unitaire $k$ dirigeant $D$ et un angle $\theta\in\,]0,2\pi[$ tels que $u$ soit la rotation d'axe $D$ et d'angle $\theta$. Dans une base orthonormée directe $(i,j,k)$ adaptée,
$$\mathrm{Mat}(u)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}.$$

*Preuve.* Le polynôme caractéristique $\chi_u$ est réel de degré $3$, donc admet une racine réelle $\lambda$ ; comme $u$ est une isométrie, $|\lambda|=1$, soit $\lambda=\pm1$. Les racines complexes non réelles vont par paires conjuguées de produit $|z|^2=1$, donc le produit de toutes les racines vaut $\lambda$ ou $\lambda\mu$ avec $\mu=\pm1$ ; l'égalité $\det u=1$ force alors $1$ à être valeur propre. Soit $k$ un vecteur unitaire fixe. Le plan $P=k^{\perp}$ est stable (car $u$ conserve l'orthogonalité), et $u|_P$ est une isométrie de $P$ de déterminant $1$ : c'est une rotation plane, d'angle $\theta$. $\square$

**Formules pratiques.** L'angle se lit sur la trace, l'axe sur la partie antisymétrique :
$$\operatorname{tr}u=1+2\cos\theta,\qquad \forall x\in E,\quad u(x)-u^{-1}(x)=2\sin\theta\,(k\wedge x).$$

##### Exemples

1. **Rotation d'axe** $Oz$. La matrice $R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}$ est directe, de trace $1+2\cos\theta$.
2. **Retournement.** La rotation d'angle $\pi$ d'axe $Oz$ a pour matrice $\mathrm{diag}(-1,-1,1)$, de déterminant $1$ : c'est une isométrie directe, involutive, souvent appelée demi-tour. Attention, elle ne doit pas être confondue avec la réflexion $\mathrm{diag}(1,1,-1)$, indirecte.
3. **Permutation circulaire des axes.** La matrice $\begin{pmatrix}0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}$ est orthogonale de déterminant $1$ : c'est la rotation d'angle $\frac{2\pi}{3}$ autour de la grande diagonale $(1,1,1)$, sa trace nulle donnant $\cos\theta=-\tfrac12$.