Isométrie directe

Définition intuitive

Une isométrie est une transformation qui ne déforme rien : elle conserve les distances, donc aussi les angles et les volumes en valeur absolue. Elle est dite directe lorsqu’elle préserve en outre l’orientation, autrement dit, lorsqu’on peut la réaliser par un mouvement continu, sans jamais retourner l’espace.

Définition formelle

Soit $E$ un espace euclidien orienté de dimension $n$. Une application linéaire $u\in\mathcal{L}(E)$ est une isométrie (ou automorphisme orthogonal) si elle conserve le produit scalaire :
$$\forall x,y\in E,\qquad \langle u(x),u(y)\rangle=\langle x,y\rangle,$$ce qui équivaut à conserver la norme, ou encore à $A^{\mathsf T}A=I_n$ pour sa matrice dans une base orthonormée. Ces applications forment le groupe orthogonal $\mathcal{O}(E)$, et $\det u=\pm 1$.

L’isométrie est dite directe si $\det u=+1$, indirecte sinon. Les isométries directes forment le sous-groupe spécial orthogonal
$$\mathcal{SO}(E)=\{u\in\mathcal{O}(E)\ :\ \det u=1\},$$d’indice $2$ dans $\mathcal{O}(E)$, donc distingué : c’est le noyau du morphisme $\det:\mathcal{O}(E)\to\{\pm1\}$.

Théorème (Euler). Soit $E$ de dimension $3$ et $u\in\mathcal{SO}(E)$, $u\neq\mathrm{id}$. Alors il existe une droite $D=\ker(u-\mathrm{id})$, un vecteur unitaire $k$ dirigeant $D$ et un angle $\theta\in\,]0,2\pi[$ tels que $u$ soit la rotation d’axe $D$ et d’angle $\theta$. Dans une base orthonormée directe $(i,j,k)$ adaptée,
$$\mathrm{Mat}(u)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}.$$

Preuve. Le polynôme caractéristique $\chi_u$ est réel de degré $3$, donc admet une racine réelle $\lambda$ ; comme $u$ est une isométrie, $|\lambda|=1$, soit $\lambda=\pm1$. Les racines complexes non réelles vont par paires conjuguées de produit $|z|^2=1$, donc le produit de toutes les racines vaut $\lambda$ ou $\lambda\mu$ avec $\mu=\pm1$ ; l’égalité $\det u=1$ force alors $1$ à être valeur propre. Soit $k$ un vecteur unitaire fixe. Le plan $P=k^{\perp}$ est stable (car $u$ conserve l’orthogonalité), et $u|_P$ est une isométrie de $P$ de déterminant $1$ : c’est une rotation plane, d’angle $\theta$. $\square$

Formules pratiques. L’angle se lit sur la trace, l’axe sur la partie antisymétrique :
$$\operatorname{tr}u=1+2\cos\theta,\qquad \forall x\in E,\quad u(x)-u^{-1}(x)=2\sin\theta\,(k\wedge x).$$

Exemples

1. Rotation d’axe $Oz$. La matrice $R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}$ est directe, de trace $1+2\cos\theta$.
2. Retournement. La rotation d’angle $\pi$ d’axe $Oz$ a pour matrice $\mathrm{diag}(-1,-1,1)$, de déterminant $1$ : c’est une isométrie directe, involutive, souvent appelée demi-tour. Attention, elle ne doit pas être confondue avec la réflexion $\mathrm{diag}(1,1,-1)$, indirecte.
3. Permutation circulaire des axes. La matrice $\begin{pmatrix}0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}$ est orthogonale de déterminant $1$ : c’est la rotation d’angle $\frac{2\pi}{3}$ autour de la grande diagonale $(1,1,1)$, sa trace nulle donnant $\cos\theta=-\tfrac12$.