Lemme d’Urysohn
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Revision 7115
10/13/2026, 11:34:06 AM · Ancient Tree
Added exercise "Fabriquer une fonction interrupteur"
linked exercisesNoneFabriquer une fonction interrupteur
Revision 7114
10/13/2026, 11:30:52 AM · Ancient Tree
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##### Intuition2
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Etant donnés deux [[sous-ensemble|parties]] $A$ et $B$, on aimerait construire une [[continuite|application continue]] valant $0$ sur $A$ et $1$ sur $B$. Mais dans un espace topologique, en général, on ne dispose pas d'une distance permettant de créer facilement une telle transition.3
Etant donnés deux [[sous-ensemble|parties]] $A$ et $B$, on aimerait construire une [[continuite|application continue]] valant $0$ sur $A$ et $1$ sur $B$. Mais dans un [[espace-topologique|espace topologique]], en général, on ne dispose pas d'une [[distance|distance]] permettant de créer facilement une telle transition.4
Le lemme d'Urysohn donne une condition, appelée [[Espace topologique normal|normalité]], qui est suffisante pour réaliser cette séparation, à condition que les parties soient fermées.5
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##### Enoncé7
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Soit $X$ un [[espace topologique normal|espace topologique normal]] et soient $A,B \subseteq X$ deux [[ensemble-ferme|fermés]] [[ensembles-disjoints|disjoints]].9
Alors, il existe une application continue10
$$f:X \rightarrow [0,1]$$11
telle que $f(x)=0$ pour tout $x\in A$, et $f(x)=1$ pour tout $x\in B$.Revision 7112
10/13/2026, 11:20:14 AM · Ancient Tree
Updated type
typeDefinitionTheorem
Revision 7111
10/13/2026, 11:19:52 AM · Ancient Tree
Concept created
##### Intuition Etant donnés deux [[sous-ensemble|parties]] $A$ et $B$, on aimerait construire une [[continuite|application continue]] valant $0$ sur $A$ et $1$ sur $B$. Mais dans un espace topologique, en général, on ne dispose pas d'une distance permettant de créer facilement une telle transition. Le lemme d'Urysohn donne une condition, appelée [[Espace topologique normal|normalité]], qui est suffisante pour réaliser cette séparation, à condition que les parties soient fermées. ##### Enoncé Soit $X$ un [[espace topologique normal|espace topologique normal]] et soient $A,B \subseteq X$ deux [[ensemble-ferme|fermés]] [[ensembles-disjoints|disjoints]]. Alors, il existe une application continue $$f:X \rightarrow [0,1]$$ telle que $f(x)=0$ pour tout $x\in A$, et $f(x)=1$ pour tout $x\in B$.